Матриця Гессе

Матриця Гессе – це квадратна матриця розмірністю n x n, елементами якої є часткові похідні деякої функції f від n змінних. Іншими словами, матриця Гессе є матрицею других похідних функції. Вона використовується для вивчення локального поведінки функції, зокрема, для визначення її максимумів, мінімумів і точок перегину.

Історія

Поняття матриці Гессе вперше було запроваджено Людвігом Отто Гессе в 1844 році під іншою назвою. Сучасний термін "матриця Гессе" був введений Джеймсом Джозефом Сильвестром.

Означення

Матриця Гессе функції f від n змінних x₁, x₂, …, xn визначається наступним чином:

H(f) = [
∂²f/∂x₁∂x₁ ∂²f/∂x₁∂x₂ … ∂²f/∂x₁∂xn
∂²f/∂x₂∂x₁ ∂²f/∂x₂∂x₂ … ∂²f/∂x₂∂xn
⋮ ⋮ ⋮
∂²f/∂xn∂x₁ ∂²f/∂xn∂x₂ … ∂²f/∂xn∂xn
]

Де ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ позначає часткову похідну другого порядку функції f за змінними xᵢ та xⱼ.

Властивості

• Матриця Гессе є симетричною, тобто H(f) = H(f)^T.
• Визначник матриці Гессе в особливій точці екстремуму функції не дорівнює нулю.
• Власні значення матриці Гессе визначають природу особливої точки функції:
  • Якщо всі власні значення додатні, то точка екстремуму є локальним мінімумом.
  • Якщо всі власні значення від'ємні, то точка екстремуму є локальним максимумом.
  • Якщо власні значення мають різні знаки, то точка екстремуму є точкою перегину.

Застосування

Матриця Гессе широко використовується в багатьох галузях, включаючи:

• Оптимізація
• Аналіз поверхні
• Теорія управління
• Статистичний висновок

За допомогою матриці Гессе можна:

• Визначати і класифікувати точки екстремуму функцій.
• Знаходити напрямки найшвидшого зростання і спадання функцій.
• Вивчати локальну поведінку нелінійних функцій.

Матриця Гессе є важливим математичним інструментом для вивчення локального поведіння функцій. Вона надає цінну інформацію про особливі точки функцій і використовується в широкому спектрі застосувань.

Питання, що часто задаються

• Що таке матриця Гессе?
• Хто запровадив поняття матриці Гессе?
• Які властивості має матриця Гессе?
• Для чого використовується матриця Гессе?
• Як визначити природу особливої точки функції за допомогою матриці Гессе?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 20 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.