Індекс підгрупи

# вікіпедія, Популярність: помірна

Індекс підгрупи

H

{\displaystyle H}

у групі

G

{\displaystyle G}

— міра того, наскільки

H

{\displaystyle H}

є нормальною підгрупою в

G

{\displaystyle G}

Індекс підгрупи є важливим поняттям у теорії груп. Він вимірює, наскільки підгрупа є нормальною в групі. Нормальна підгрупа — це підгрупа, яка залишається незмінною при всіх перетвореннях групи. Отже, якщо підгрупа є нормальною, вона має індекс 1. Якщо підгрупа не є нормальною, вона має індекс більше 1.

Означення та властивості

Індекс підгрупи

H

{\displaystyle H}

у групі

G

{\displaystyle G}

визначається як число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи

G

{\displaystyle G}

за цією підгрупою

H

{\displaystyle H}

(в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи

H

{\displaystyle H}

в

G

{\displaystyle G}

дорівнює порядку групи

G

{\displaystyle G}

, поділеному на порядок підгрупи

H

{\displaystyle H}

:

{\displaystyle |G:H|={\frac {|G|}{|H|}}}

Де

|G|

і

|H|

— порядки груп

G

і

H

відповідно.

Індекс підгрупи має такі властивості:

• Індекс підгрупи завжди є натуральним числом.


• Індекс підгрупи дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли підгрупа є нормальною.


• Якщо

  H

  і

  K

  — підгрупи групи

  G

  , то індекс підгрупи

  HK

  в

  G

  дорівнює добутку індексів підгруп

  H

  і

  K

  в

  G

  .

Приклад

Розглянемо групу

S

₃

симметрій рівностороннього трикутника. Ця група складається з шести елементів: ідентичність, два обертання на 120 градусів і три відбиття. Нормальними підгрупами в

S

₃

є підгрупа порядку 1, що складається з ідентичності, і підгрупа порядку 3, що складається з обертань. Індекс підгрупи порядку 1 дорівнює 1, а індекс підгрупи порядку 3 дорівнює 2.

Застосування

Індекс підгрупи використовується в багатьох розділах математики, включаючи теорію груп, алгебру і топологію. Він також використовується в деяких прикладних областях, таких як інформатика і фізика.

В інформатиці індекс підгрупи використовується в криптографії і теорії автоматів. У фізиці індекс підгрупи використовується в теорії представлень груп і в квантовій механіці.

Висновок

Індекс підгрупи є важливим поняттям у теорії груп. Він вимірює, наскільки підгрупа є нормальною в групі. Індекс підгрупи має багато властивостей і застосувань в математиці та інших областях.

Поширені запитання

1. Що таке індекс підгрупи?

Індекс підгрупи

H

в групі

G

— це число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи

G

за цією підгрупою

H

.

2. Як обчислити індекс підгрупи?

Індекс підгрупи

H

в

G

дорівнює порядку групи

G

, поділеному на порядок підгрупи

H

:

{\displaystyle |G:H|={\frac {|G|}{|H|}}}

3. Які властивості має індекс підгрупи?

Індекс підгрупи має такі властивості:



• Індекс підгрупи завжди є натуральним числом.


• Індекс підгрупи дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли підгрупа є нормальною.


• Якщо

  H

  і

  K

  — підгрупи групи

  G

  , то індекс підгрупи

  HK

  в

  G

  дорівнює добутку індексів підгруп

  H

  і

  K

  в

  G

  .



4. Які застосування має індекс підгрупи?

Індекс підгрупи використовується в багатьох розділах математики, включаючи теорію груп, алгебру і топологію. Він також використовується в деяких прикладних областях, таких як інформатика і фізика. В інформатиці індекс підгрупи використовується в криптографії і теорії автоматів. У фізиці індекс підгрупи використовується в теорії представлень груп і в квантовій механіці.

5. Як використовувати індекс підгрупи для вирішення задач?

Індекс підгрупи можна використовувати для вирішення багатьох задач у теорії груп і інших областях математики. Наприклад, можна використовувати індекс підгрупи, щоб визначити, чи є підгрупа нормальною. Також можна використовувати індекс підгрупи, щоб обчислити порядок групи.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 01 01 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.