Теорема про обернену функцію

Теорема

Теорема про обернену функцію стверджує, що якщо функція диференційовна в точці x і її похідна в цій точці не дорівнює нулю, тоді в околі цієї точки існує обернена функція, яка також є диференційовною.

Формальне Визначення

Нехай f: I -> J – диференційовна функція, визначена на відкритому інтервалі I. Тоді f є оберненою в точці c ∈ I, якщо існує інтервал J, що містить f(c), та диференційована функція g: J -> I така, що:

• f(g(y)) = y для всіх y ∈ J
• g(f(x)) = x для всіх x ∈ I

Достатня Умова

Теорема про обернену функцію дає достатню умову для існування оберненої функції. Зокрема, якщо похідна f'(c) не дорівнює нулю в точці c, то існує околиці точки c, в якій f обернена.

Геометрична Інтерпретація

Геометрично теорема про обернену функцію означає, що якщо графік функції f не має вертикальних дотичних ліній в точці c, то графік оберненої функції g існуватиме і буде мати неперервну похідну в околі точки f(c).

Властивості Оберненої Функції

Якщо f обернена в точці c, то:

• g є диференційовною в точці f(c)
• g'(f(c)) = 1/f'(c)

Приклади

• Функція f(x) = x^2 не обернена при x = 0, оскільки її похідна дорівнює нулю в цій точці.
• Функція f(x) = x^3 обернена при всіх x, оскільки її похідна ніколи не дорівнює нулю.

Теорема про обернену функцію є потужним інструментом у диференціальному численні, який дозволяє знаходити обернені функції та вивчати їх властивості.

Часто Задавані Питання

1. Що таке теорема про обернену функцію?
   Відповідь: Теорема про обернену функцію дає достатню умову для того, щоб функція була оберненою в околі точки.

2. Яка достатня умова для оберненості функції?
   Відповідь: Похідна функції не повинна дорівнювати нулю в точці, де ми шукаємо обернену функцію.

3. Чи є обернена функція завжди диференційовною?
   Відповідь: Так, якщо похідна вихідної функції не дорівнює нулю, обернена функція також диференційовна.

4. Яка геометрична інтерпретація теореми про обернену функцію?
   Відповідь: Теорема стверджує, що графік оберненої функції не має вертикальних дотичних ліній у точці, де вихідна функція не має горизонтальних дотичних ліній.

5. Наведіть приклад функції, яка обернена при всіх значеннях своїх аргументів.
   Відповідь: Функція f(x) = x^3 обернена при всіх x.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 20 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.