https://reporter.zp.ua

Теорема про обернену функцію

Редактор: Михайло Мельник

Ви можете поставити запитання спеціалісту!

Теорема

Теорема про обернену функцію стверджує, що якщо функція диференційовна в точці x і її похідна в цій точці не дорівнює нулю, тоді в околі цієї точки існує обернена функція, яка також є диференційовною.

Формальне Визначення

Нехай f: I -> J – диференційовна функція, визначена на відкритому інтервалі I. Тоді f є оберненою в точці c ∈ I, якщо існує інтервал J, що містить f(c), та диференційована функція g: J -> I така, що:

  • f(g(y)) = y для всіх y ∈ J
  • g(f(x)) = x для всіх x ∈ I

Достатня Умова

Теорема про обернену функцію дає достатню умову для існування оберненої функції. Зокрема, якщо похідна f'(c) не дорівнює нулю в точці c, то існує околиці точки c, в якій f обернена.

Геометрична Інтерпретація

Геометрично теорема про обернену функцію означає, що якщо графік функції f не має вертикальних дотичних ліній в точці c, то графік оберненої функції g існуватиме і буде мати неперервну похідну в околі точки f(c).

Властивості Оберненої Функції

Якщо f обернена в точці c, то:

Є питання? Запитай в чаті зі штучним інтелектом!

  • g є диференційовною в точці f(c)
  • g'(f(c)) = 1/f'(c)

Приклади

  • Функція f(x) = x^2 не обернена при x = 0, оскільки її похідна дорівнює нулю в цій точці.
  • Функція f(x) = x^3 обернена при всіх x, оскільки її похідна ніколи не дорівнює нулю.

Теорема про обернену функцію є потужним інструментом у диференціальному численні, який дозволяє знаходити обернені функції та вивчати їх властивості.

Часто Задавані Питання

  1. Що таке теорема про обернену функцію?
    Відповідь: Теорема про обернену функцію дає достатню умову для того, щоб функція була оберненою в околі точки.

  2. Яка достатня умова для оберненості функції?
    Відповідь: Похідна функції не повинна дорівнювати нулю в точці, де ми шукаємо обернену функцію.

  3. Чи є обернена функція завжди диференційовною?
    Відповідь: Так, якщо похідна вихідної функції не дорівнює нулю, обернена функція також диференційовна.

  4. Яка геометрична інтерпретація теореми про обернену функцію?
    Відповідь: Теорема стверджує, що графік оберненої функції не має вертикальних дотичних ліній у точці, де вихідна функція не має горизонтальних дотичних ліній.

  5. Наведіть приклад функції, яка обернена при всіх значеннях своїх аргументів.
    Відповідь: Функція f(x) = x^3 обернена при всіх x.

У вас є запитання чи ви хочете поділитися своєю думкою? Тоді запрошуємо написати їх в коментарях!

Приєднуйтеся до нашого чату: Телеграм!
У вас є запитання до змісту чи автора статті?
НАПИСАТИ

Залишити коментар

Опубліковано на 20 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.

ХОЧЕТЕ СТАТИ АВТОРОМ?

Запропонуйте свої послуги за цим посиланням.
Контакти :: Редакція
Використання будь-яких матеріалів, розміщених на сайті, дозволяється за умови посилання на Reporter.zp.ua.
Редакція не несе відповідальності за матеріали, розміщені користувачами та які помічені "реклама".