Теорема про неявну функцію – довідка

# вікіпедія, Популярність: важлива

Теорема про неявну функцію: розкриваючи суть локального існування та властивостей неявних функцій

**Що таке теорема про неявну функцію?**

Теорема про неявну функцію – це математична теорема, яка гарантує локальне існування і описує властивості неявних функцій. Неявна функція – це функція, яка визначається неявно, тобто вона не задана явно у формі y = f(x). Наприклад, рівняння x^2 + y^2 = 1 визначає неявну функцію y як функцію від x.

**План статті:**

1. Вступ до теореми про неявну функцію
2. Умови теореми про неявну функцію
3. Доказ теореми про неявну функцію
4. Застосування теореми про неявну функцію
5. Приклади використання теореми про неявну функцію
6. Висновок та запитання, що часто задаються

**Теорема про неявну функцію**

Теорема про неявну функцію стверджує, що якщо функція F(x, y) має неперервні часткові похідні в деякій області D і якщо (a, b) є точкою в D, в якій F(a, b) = 0 і ∂F/∂y(a, b) ≠ 0, то в деякій області, що містить точку (a, b), існує єдина функція y = f(x), така що F(x, f(x)) = 0 і f(a) = b.

**Умови теореми про неявну функцію**

Для того, щоб застосувати теорему про неявну функцію, необхідно виконати такі умови:

1. Функція F(x, y) має неперервні часткові похідні в деякій області D.
2. Точка (a, b) є точкою в D, в якій F(a, b) = 0.
3. ∂F/∂y(a, b) ≠ 0.

**Доказ теореми про неявну функцію**

Доказ теореми про неявну функцію ґрунтується на теоремі про обернену функцію. Теорема про обернену функцію стверджує, що якщо функція f(x) має неперервну похідну в деякій області D і якщо f'(x) ≠ 0 для всіх x в D, то f(x) є оберненою для деякої функції g(x).

**Застосування теореми про неявну функцію**

Теорема про неявну функцію має широке застосування в математиці та її додатках. Вона використовується в:

1. Аналiтичнiй геометрiї для визначення та вивчення кривих і поверхонь.
2. Теорії диференцiальних рiвнянь для вирiшення рiвнянь у частинних похiдних.
3. Економiцi i фiнансах для вивчення поведiнки ринкiв та цiн.

**Приклади використання теореми про неявну функцію**

Ось кілька прикладів використання теореми про неявну функцію:

1. Визначення та вивчення кривих і поверхонь. Наприклад, теорема про неявну функцію може бути використана для визначення та вивчення кривої, заданої рівнянням x^2 + y^2 = 1.
2. Вирішення рівнянь у частинних похідних. Наприклад, теорема про неявну функцію може бути використана для вирішення рівняння в частинних похідних ∂u/∂x + ∂u/∂y = 0.
3. Вивчення поведінки ринків та цін. Наприклад, теорема про неявну функцію може бути використана для вивчення поведінки ринку акцій або цін на товари.

**Висновок**

Теорема про неявну функцію є потужним інструментом для вивчення функцій, які задані неявно. Вона має широке застосування в математиці та її додатках.

Запитання, що часто задаються

1. Що таке неявна функція?
2. Які умови теореми про неявну функцію?
3. Як довести теорему про неявну функцію?
4. Де використовується теорема про неявну функцію?
5. Як застосувати теорему про неявну функцію до конкретної задачі?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 25 12 2023. Поданий під Технології. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.