Теорема Фубіні – довідка

# вікіпедія, Популярність: середня

Теорема Фубіні, названа на честь італійського математика Гвідо Фубіні, є фундаментальною теоремою математичного аналізу. Вона дозволяє обчислювати подвійні інтеграли на добутку мір, зводячи їх до повторних інтегралів. Теорія міри вивчає поняття міри множини, яке є узагальненням поняття довжини, площі та обсягу.

У цьому розгорнутому огляді ми вивчимо теоріму Фубіні, а також дві тісно пов’язані з нею теореми: теорему Тонеллі та теорему Тонеллі-Фубіні. Почнемо з визначення добутку мір та подвійного інтегралу, а потім перейдемо до формулювання та доказу теорем.

Добуток мір – це міра, визначена на декартовому добутку двох просторів з мірами. Якщо \(X\) і \(Y\) – простори з мірами \((X, \Sigma, \mu)\) та \((Y, \mathcal{T}, \nu)\), то добуток мір \((\mu \times \nu)\) визначається на декартовому добутку \(X \times Y\) наступним чином:

$$(\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B)$$

де \(A\) – множина в \(X\), \(B\) – множина в \(Y\), \(A \times B\) – декартовий добуток множин \(A\) та \(B\).

Повторний інтеграл – це інтеграл, який обчислюється шляхом послідовного застосування інтегрування по кожному з аргументів функції, тобто подвійний інтеграл для функції \(f(x, y)\) розраховується так:

$$\int\limits_X\int\limits_Y f(x, y) d\nu(y)dx = \int\limits_X \left( \int\limits_Y f(x, y) d\nu(y) \right) d\mu(x)$$

У першому інтегралі ми спочатку інтегруємо по \(y\), а потім по \(x\), а в другому інтегралі ми спочатку інтегруємо по \(x\), а потім по \(y\).

Теорема Фубіні стверджує, що для будь-якої невід’ємної, вимірної функції \(f\) на декартовому добутку \(X \times Y\) справедливі наступні рівності:

$$\int\limits_{X \times Y} f(x, y) d(\mu \times \nu) = \int\limits_X \left( \int\limits_Y f(x, y) d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int\limits_Y \left( \int\limits_X f(x, y) d\mu(x) \right) d\nu(y)$$

Тобто, подвійний інтеграл по добутку мір можна обчислювати як повторний інтеграл по двох просторах з мірами.

Теорема Тонеллі є узагальненням теореми Фубіні на вимірні функції зі знаком. Вона стверджує, що для будь-якої вимірної функції \(f\) на декартовому добутку \(X \times Y\) справедливі наступні рівності:

$$\int\limits_{X \times Y} |f(x, y)| d(\mu \times \nu) < \infty \quad \Rightarrow \quad \int\limits_X \left( \int\limits_Y |f(x, y)| d\nu(y) \right) d\mu(x) < \infty$$$$\int\limits_{X \times Y} |f(x, y)| d(\mu \times \nu) < \infty \quad \Rightarrow \quad \int\limits_Y \left( \int\limits_X |f(x, y)| d\mu(x) \right) d\nu(y) < \infty$$$$\int\limits_X \left( \int\limits_Y |f(x, y)| d\nu(y) \right) d\mu(x) < \infty \quad \Rightarrow \quad \int\limits_{X \times Y} |f(x, y)| d(\mu \times \nu) < \infty$$$$\int\limits_Y \left( \int\limits_X |f(x, y)| d\mu(x) \right) d\nu(y) < \infty \quad \Rightarrow \quad \int\limits_{X \times Y} |f(x, y)| d(\mu \times \nu) < \infty$$Тобто, якщо інтеграл від модуля функції \(f\) по добутку мір є скінченним, то всі повторні інтеграли від модуля цієї функції також є скінченними.Теорема Тонеллі-Фубіні є комбінацією теорем Фубіні та Тонеллі. Вона стверджує, що для будь-якої вимірної функції \(f\) на декартовому добутку \(X \times Y\) такі рівності справедливі:$$\int\limits_{X \times Y} f(x, y) d(\mu \times \nu) = \int\limits_X \left( \int\limits_Y f(x, y) d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int\limits_Y \left( \int\limits_X f(x, y) d\mu(x) \right) d\nu(y)$$за умови, що хоча б один з повторних інтегралів скінченний.Теореми Фубіні, Тонеллі та Тонеллі-Фубіні є фундаментальними теоремами математичного аналізу, що дозволяють обчислювати подвійні інтеграли на добутку мір за допомогою повторних інтегралів. Ці теореми широко використовуються в багатьох галузях математики та її застосуваннях.1. Що таке добуток мір? 2. Що таке повторний інтеграл? 3. Що таке теорема Фубіні? 4. Що таке теорема Тонеллі? 5. Що таке теорема Тонеллі-Фубіні?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 25 12 2023. Поданий під Технології. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.