Перманент
1. Визначення
Перманент – це числова функція, визначена на множині всіх матриць. Для квадратних матриць перманент схожий на детермінант, але відрізняється від нього лише тим, що в розкладі на перестановки (або на мінори) беруться не почергові знаки, а всі плюси.
Наприклад, перманент матриці:
A = | 1 2 |
| 3 4 |
обчислюється як:
perm(A) = 1*4 + 2*3 = 10
2. Узагальнення на неквадратні матриці
На відміну від детермінанта, визначення перманента розширено і на неквадратні матриці. Для неквадратних матриць перманент обчислюється шляхом згортання по рядках або стовпцях.
Наприклад, перманент матриці:
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
обчислюється як сума перманентів підматриць 2×2:
perm(A) = perm(| 1 2 |) + perm(| 3 4 |) + perm(| 5 6 |)
3. Властивості
- Перманент є лінійною функцією за рядками або стовпцями.
- Перманент трикутної матриці дорівнює добутку елементів на головній діагоналі.
- Перманент перестановки матриці дорівнює добутку перманентів пермутованих рядків або стовпців.
- Перманент оборотних матриць дорівнює добутку їхніх детермінантів.
4. Застосування
Перманент має численні застосування в різних галузях, зокрема:
- Комбінаторика
- Теорія графів
- Оптимізація
- Квантова інформатика
5. Оптимальні алгоритми
Для обчислення перманента розроблено низку оптимальних алгоритмів. Найвідомішими з них є:
- Алгоритм Бербіджа-Фанкса
- Алгоритм Раута
- Алгоритм Хоффмана-Вішарта
Вибір оптимального алгоритму залежить від розміру та структури матриці.
Перманент є важливою числовою функцією, визначеною на множині всіх матриць. Його властивості та застосування дозволяють використовувати його в широкому спектрі задач. Оптимальні алгоритми забезпечують ефективне обчислення перманента для матриць різного розміру та структури.
Часто задаються питання
- Що таке перманент?
- Чим відрізняється перманент від детермінанта?
- Чи завжди перманент додатній?
- Які застосування перманента?
- Які найефективніші алгоритми для обчислення перманента?
Опубліковано