Кільце Нетер
Кільце Нетер
Визначення
Кільце Нетер в абстрактній алгебрі – це асоціативне кільце з одиницею, в якому кожна зростаюча послідовність лівих (або правих) ідеалів стабілізується. Іншими словами, для будь-якої зростаючої послідовності ідеалів
$$I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \cdots$$
існує таке ціле число \(n\), що \(I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = \cdots\).
Приклади
* Комутативні кільця Нетер включають поля, головні кільця (наприклад, кільце многочленів над полем) і кільця цілих чисел Гаусса.
* Некомутативні кільця Нетер включають кільце обмежених операторів на гільбертовому просторі та кільце верхніх трикутних матриць над комутативним кільцем Нетер.
Властивості
* Кожне кільце Нетер є артиновим, але не навпаки.
* Кільце Нетер є доменом цілісності тоді і тільки тоді, коли нульовий ідеал – єдиний первинний ідеал.
* Кожне скінченнопороджене кільце над кільцем Нетер також є кільцем Нетер.
* Кільце многочленів над кільцем Нетер також є кільцем Нетер.
Модулі Нетер
Модуль над кільцем Нетер називається модулем Нетер, якщо він є скінченнопородженим і задовольняє умову спадної послідовності підмодулів. Іншими словами, для будь-якої спадної послідовності підмодулів
$$M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \cdots$$
існує таке ціле число \(n\), що \(M_n = M_{n+1} = M_{n+2} = \cdots\).
Застосування
Кільця Нетер є важливими в різних областях математики, зокрема:
* Теорія алгебричних чисел
* Коммутативна алгебра
* Алгебраїчна геометрія
Кільця Нетер – це спеціальний клас асоціативних кілець, які мають властивість стабілізації зростаючих послідовностей ідеалів. Вони мають численні важливі властивості та застосування в різних галузях математики.
Часті запитання
* Що характеризує кільце Нетер?
Асоціативне кільце з одиницею, в якому кожна зростаюча послідовність ідеалів стабілізується.
* Наведіть приклади кілець Нетер.
Поля, головні кільця, кільця цілих чисел Гаусса.
* Чим кільця Нетер відрізняються від артинових кілець?
Кожне кільце Нетер є артиновим, але не навпаки.
* Що таке модуль Нетер?
Модуль над кільцем Нетер, який є скінченнопородженим і задовольняє умову спадної послідовності підмодулів.
* Які застосування кілець Нетер?
Теорія алгебричних чисел, комутативна алгебра, алгебраїчна геометрія.
Опубліковано