Виведення рівняння Нав’є — Стокса

“`html

Виведення рівнянь Нав’є — Стокса

Рівняння Нав’є — Стокса — це набір диференціальних рівнянь у часткових похідних, які описують поведінку в’язких рідин. Ці рівняння мають широке застосування в таких галузях, як механіка рідин, аеродинаміка, гідравліка та біомеханіка.

Історичне тло

Рівняння Нав’є — Стокса названі на честь французького інженера і фізика Клода-Луї Нав’є та ірландського математика і фізика Джорджа Габріеля Стокса. Нав’є опублікував першу версію рівнянь в 1822 році, а Стоксу вдалося отримати повний набір в 1845 році.

Виведення

Виведення рівнянь Нав’є — Стокса базується на наступних припущеннях:

1. Рідина є нестисливою та в’язкою.
2. Потік є ламінарним.
3. Зовнішніх сил, крім сили тяжіння, немає.

З цих припущень отримуємо рівняння збереження маси, рівняння імпульсу та рівняння Нав’є — Стокса:

• Рівняння збереження маси:
  $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0$$
• Рівняння імпульсу:
  $$\rho\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{g}$$
• Рівняння Нав’є — Стокса:
  $$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\frac{-1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{g}$$

де $\rho$ — густина рідини, $\mathbf{u}$ — швидкість рідини, $p$ — тиск, $\mu$ — динамічна в’язкість, $\nu$ — кінематична в’язкість, $\mathbf{g}$ — прискорення вільного падіння.

Сімейства рідин

У залежності від властивостей рідини, рівняння Нав’є — Стокса можна спростити для різних сімейств рідин.

Ньютонівські рідини

Ньютонівськими рідинами називаються ті, для яких напруження зсуву пропорційне градієнту швидкості. Для таких рідин рівняння Нав’є — Стокса може бути представлено в спрощеному вигляді:

$$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{g}$$

Прикладами ньютонівських рідин є вода, повітря, олія.

Неньютонівські рідини

Неньютонівські рідини — це рідини, для яких напруження зсуву не є пропорційним градієнту швидкості. Рівняння Нав’є — Стокса для неньютонівських рідин мають більш складну форму і залежать від типу рідини.

Прикладами неньютонівських рідин є кетчуп, зубна паста, фарба.

Застосування

Рівняння Нав’є — Стокса мають широке застосування в різних галузях науки та техніки, зокрема:

• Аеродинаміка: розрахунок сили підйому, опору та інших аеродинамічних характеристик тіл.
• Гідравліка: проектування трубопроводів, насосів та інших гідравлічних систем.
• Біомеханіка: вивчення руху та деформації біологічних тканин.
• Метеорологія: моделювання погодних явищ та клімату.
• Океанографія: вивчення руху та поведінки морської води.

Рівняння Нав’є — Стокса є основою для розуміння поведінки в’язких рідин. Ці рівняння використовуються для вирішення широкого спектра проблем у галузях механіки рідин, гідравліки, біомеханіки та багатьох інших.

Часті запитання:

1. Хто вивів рівняння Нав’є — Стокса?
2. Які припущення лежать в основі виведення рівнянь Нав’є — Стокса?
3. Що таке ньютонівська рідина?
4. Які відмінності між ньютонівськими та неньютонівськими рідинами?
5. Назвіть галузі, де застосовуються рівняння Нав’є — Стокса.

“`

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 20 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.