Відстань Чебишова

Означення

Відстань Чебишова — метрика максимуму або l_∞-метрика на векторному просторі, яка визначає відстань між двома векторами як найбільшу різницю їхніх координат. Вона названа на честь російського математика Пафнутія Чебишова.

Формальне визначення

Для двох векторів x = (x₁, x₂, …, x_n) та y = (y₁, y₂, …, y_n) у n-вимірному векторному просторі відстань Чебишова визначається як:

“`
d<sub>∞</sub>(x, y) = max<sub>i=1,…,n</sub> {|x<sub>i</sub> – y<sub>i</sub>|}
“`

де |x_i – y_i| – абсолютна різниця між i-ю компонентою векторів x і y.

Властивості

Відстань Чебишова має такі властивості:

* Несиметричність: Відстань Чебишова не є симетричною, тобто d_∞(x, y) може бути не дорівнює d_∞(y, x).
* Обмеженість: Відстань Чебишова обмежена зверху величиною максимальної різниці координат векторів.
* Метрика: Відстань Чебишова задовольняє всі аксіоми метрики, включаючи невід’ємність, невиродженість, симетричність щодо рівності та нерівність трикутника.
* Дискретність: Відстань Чебишова в дискретних просторах, таких як звичайні евклідові ґратки, може набувати лише дискретні значення.

Застосування

Відстань Чебишова широко використовується у різних галузях, таких як:

* Аналіз даних: Для кластеризації даних, виявлення аномалій і визначення відстані між спостереженнями.
* Комп’ютерне зір: Для обробки та розпізнавання зображень, де вона відома як “шахова метрика”.
* Економіка: Для моделювання виробничих процесів, транспортних мереж і розподілу ресурсів.
* Математичне програмування: Для розв’язання задач лінійного та нелінійного програмування.
* Теорія ігор: Для вивчення кооперативних і некооперативних ігор, де вона відома як “метрика максимін”.

Варіації

Існують різні варіації відстані Чебишова, включаючи:

* Пондерована відстань Чебишова: Де різним компонентам векторів присвоюються різні ваги.
* Відстань мін-макс: Яка обчислюється як мінімум максимальної різниці координат векторів.
* Відстань Чебишова з одиничним обмеженням: Де компоненти векторів нормалізуються перед обчисленням відстані.

Відстань Чебишова — корисна та універсальна метрика, яка знаходить застосування в широкому діапазоні областей. Її простота і обчислювальна ефективність роблять її особливо придатною для завдань, де важливо визначити відстань між векторами з максимальною різницею в координатах.

Запитання, що часто задаються

* Яка основна відмінність між відстанню Чебишова та евклідовою відстанню?
Відстань Чебишова визначається як максимальна різниця координат, тоді як евклідова відстань визначається як квадратний корінь з суми квадратів різниць координат.
* Чи є відстань Чебишова симетричною?
Ні, відстань Чебишова несиметрична.
* Які галузі широко використовують відстань Чебишова?
Аналіз даних, комп’ютерне зір, економіка, математичне програмування та теорія ігор.
* Як обчислити пондеровану відстань Чебишова?
Присвоївши різним компонентам векторів різні ваги перед обчисленням відстані Чебишова.
* Для яких задач підходить відстань Чебишова?
Для задач, де важливо визначити відстань між векторами з максимальною різницею в координатах.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 13 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.