Теорема Піка (комплексний аналіз) – довідка

# вікіпедія, Популярність: невелика

## **Теорема Піка, або теорема Шварца – Піка: інваріантне формулювання та узагальнення леми Шварца**

У математиці, особливо в комплексній аналітиці, теорема Піка, відома також як теорема Шварца–Піка, є твердженням про значення голоморфної функції в одиничному диску. Вона пов’язує кількість нулів і полюсів функції в диску з числом обертань її аргументу навколо початку координат.

Теорема Піка була вперше сформульована Георгом Піком у 1880 році. Вона була узагальнена Германном Шварцем у 1895 році та набула сучасного вигляду завдяки Ернсту Піка в 1913 році.

### **Фундаментальні поняття**

1. **Голоморфна функція**: Функція, що має похідні у кожній точці своєї області визначення.

2. **Одиничний диск**: Множина всіх комплексних чисел, модуль яких менший за одиницю.

3. **Нуль функції**: Комплексне число \(z\), для якого \(f(z) = 0\).

4. **Полюс функції**: Комплексне число \(z\), для якого \(f(z) \to \infty\) при \(z \to z_0\).

5. **Число обертань**: Кількість разів, яку аргумент функції обертається навколо початку координат при русі по межі одиничного диска.

### **Теорема Піка**

Якщо \(f(z)\) є голоморфною функцією в одиничному диску, то число нулів функції в диску, порахованих з урахуванням кратності, дорівнює числу полюсів функції в диску, також порахованих з урахуванням кратності, мінус число обертань аргументу функції навколо початку координат.

### **Доведення**

Теорема Піка є узагальненням леми Шварца, яка стверджує, що якщо \(f(z)\) є голоморфною функцією в одиничному диску і \(a\) є точкою в диску, то число нулів функції в диску, порахованих з урахуванням кратності, дорівнює числу полюсів функції в диску, також порахованих з урахуванням кратності, мінус число обертів аргументу функції навколо точки \(a\).

Щоб довести теорему Піка, можна використати принцип аргументу. Нехай \(C\) є колом радіусом \(r\), що лежить в одиничному диску, \(f(z)\) є голоморфною функцією в одиничному диску, яка не має нулів і полюсів на колі \(C\).

Тоді, згідно з принципом аргументу, число обертань аргументу функції \(f(z)\) навколо початку координат у точці \(z = 0\) дорівнює числу нулів функції \(f(z)\) в диску \(C\), порахованих з урахуванням кратності, мінус число полюсів функції \(f(z)\) в диску \(C\), також порахованих з урахуванням кратності.

Оскільки \(f(z)\) не має нулів і полюсів на колі \(C\), то число обертань аргументу функції навколо початку координат у точці \(z = 0\) дорівнює числу обертань аргументу функції навколо початку координат у точці \(z = r\).

Отже, число нулів функції \(f(z)\) в диску \(C\), порахованих з урахуванням кратності, мінус число полюсів функції \(f(z)\) в диску \(C\), також порахованих з урахуванням кратності, не залежить від радіусу кола \(C\).

Отже, це число повинно дорівнювати числу нулів функції \(f(z)\) в одиничному диску, порахованих з урахуванням кратності, мінус число полюсів функції \(f(z)\) в одиничному диску, також порахованих з урахуванням кратності.

### **Узагальнення**

Теорему Піка можна узагальнити на випадок, коли \(f(z)\) є мероморфною функцією в одиничному диску, тобто функцією, яка є голоморфною в одиничному диску, за винятком скінченного числа полюсів. У цьому випадку теорема Піка стверджує, що число нулів функції \(f(z)\) в диску, порахованих з урахуванням кратності, дорівнює числу полюсів функції \(f(z)\) в диску, також порахованих з урахуванням кратності, мінус число обертань аргументу функції навколо початку координат плюс число нулів функції \(f(z)\) на межі одиничного диска, також порахованих з урахуванням кратності.

### **Висновок**

Теорема Піка є потужним інструментом для вивчення голоморфних функцій в одиничному диску. Вона може бути використана для доведення різноманітних теорем про голоморфні функції, таких як теорема про максимальний модуль та теорема про рівномірне наближення.

### **Запитання, що часто задаються**

1. Яке фундаментальне поняття лежить в основі теореми Піка?

2. Яка історія формулювання та узагальнення теореми Піка?

3. Як доводиться теорема Піка?

4. Чим теорема Піка відрізняється від леми Шварца?

5. Які узагальнення теореми Піка існують?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 23 12 2023. Поданий під Технології. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.