Теорема Безу

Теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен

Визначення

Теорема Безу стверджує, що при діленні многочлена (f(x)) на двочлен (x – a) остача дорівнює значенню многочлена (f(a)) при (x = a).

Математичне формулювання

Якщо (f(x)) – многочлен, а (a) – будь-яке дійсне число, то існує єдиний многочлен (q(x)) і стала (r) такі, що:

f(x) = (x – a)q(x) + r

де (r = f(a)).

Доведення

Доведення теореми можна здійснити методом математичної індукції за степенем многочлена (f(x)).

База індукції:

Для многочлена першого степеня (f(x) = ax + b) маємо:

f(x) = (x – a)(1) + b

де остача (r = f(a) = b).

індукції:

Припустимо, що твердження істинне для всіх многочленів степеня (n). Розглянемо многочлен (f(x)) степеня (n+1). Запишемо його у формі:

f(x) = g(x)(x – a) + r

де (g(x)) – многочлен степеня (n). Згідно з припущенням індукції, маємо:

g(x) = (x – a)h(x) + f(a)

Підставивши це у попередню рівність, отримаємо:

f(x) = (x – a)(h(x)(x – a) + f(a)) + r

або

f(x) = (x – a)^2h(x) + (x – a)f(a) + r

Отже, остача при діленні (f(x)) на (x – a) дорівнює (f(a)), що й потрібно було довести.

Застосування

Теорема Безу має численні застосування в різних галузях математики:

• Знаходження коренів многочлена шляхом підбору значень, для яких остача дорівнює нулю.
• Розв'язання конгруентних рівнянь за модулем (a).
• Доведення властивостей многочленів, наприклад теореми про раціональні корені.

Приклади

Приклад 1:

Знайти остачу при діленні многочлена (f(x) = x^3 – 2x^2 + 5x – 1) на (x – 3).

За теоремою Безу, остача дорівнює (f(3) = 3^3 – 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 – 1 = 26).

Приклад 2:

Знайти корені многочлена (g(x) = x^4 – 16).

Оскільки многочлен ділиться на (x – 2), то (2) є коренем. За теоремою Безу, знаходимо остачі при діленні на двочлени (x – 4), (x + 2) та (x – 8):

• (g(4) = 4^4 – 16 = 240)
• (g(-2) = (-2)^4 – 16 = 0)
• (g(8) = 8^4 – 16 = 4096)

Отже, коріннями многочлена (g(x)) є (2, -2).

Теорема Безу є фундаментальною теоремою алгебри, яка надає потужний інструмент для вивчення та розв'язання різних математичних задач. Вона широко застосовується в різних галузях, таких як теорія чисел, алгебра та аналіз.

Часто задавані питання

1. Що таке остача при діленні многочлена?
2. Яке математичне формулювання теореми Безу?
3. Як можна довести теорему Безу?
4. Які застосування має теорема Безу?
5. Як використовувати теорему Безу для знаходження коренів многочлена?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 25 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.