Рівняння Безу

Застосування

Одне поширене застосування рівняння Безу – пошук оберненого модуля. Якщо gcd(a, b) = 1, обернений a степенем b по модулю b можна знайти за допомогою розширеного алгоритму Евкліда, який дає нам a * x + b * y = gcd(a, b), де x – це обернений a степенем b по модулю b.

Іншим застосуванням рівняння Безу є знаходження найменшого спільного кратного (НСК) двох чисел. НСК (a, b) можна обчислити як a * b / gcd(a, b), використовуючи рівняння Безу для знаходження GCD.

Доведення

Доведення рівняння Безу може бути проведено за допомогою індукції.

Базовий випадок: Для a = 0, рівняння Безу стає 0 * x + b * y = gcd(0, b) = b, що є явно істинним.

Індуктивний крок: Припустимо, що рівняння Безу виконується для пари чисел (a, b). Ми повинні показати, що воно також виконується для пари (b, r), де r – залишок від ділення a на b.

Оскільки a = b * q + r, де q – ціле число, ми можемо підставити це в рівняння Безу для пари (a, b):

a * x + b * y = gcd(a, b)

(b * q + r) * x + b * y = gcd(a, b)

b * (q * x + y) + r * x = gcd(a, b)

Оскільки b є дільником gcd(a, b), ми можемо винести його за дужки:

b * (q * x + y + x * (r / gcd(a, b))) = gcd(a, b)

Оскільки b * (q * x + y + x * (r / gcd(a, b))) – це ціле число, а gcd(a, b) – найбільший спільний дільник a і b, це означає, що gcd(b, r) повинен також ділити gcd(a, b). Оскільки r < b, це означає, що gcd(b, r) = gcd(a, b).

Таким чином, ми показали, що рівняння Безу виконується для пари (b, r).

Рівняння Безу є потужним інструментом в елементарній теорії чисел, який має численні застосування, включаючи пошук обернених модулів і обчислення найменшого спільного кратного.

Часті запитання

• Що таке рівняння Безу?
• Як використовувати рівняння Безу для знаходження обернених модулів?
• Як використовувати рівняння Безу для знаходження НСК?
• Як довести рівняння Безу?
• Які ще застосування рівняння Безу?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 10 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.