Рівняння Безу

Твердження

Рівняння Безу в елементарній теорії чисел стверджує, що для будь-яких двох цілих чисел (a) та (b), існує пара цілих чисел (x) та (y), таких що:

ax + by = НСД(a, b)

де НСД(a, b) – найбільший спільний дільник чисел (a) та (b).

Доведення

Доведення рівняння Безу можна здійснити за допомогою алгоритму Евкліда для знаходження НСД.

1: Поділимо (a) на (b) з остачею. Тобто знайдемо числа (q) та (r), такі що:

a = bq + r

де (0 ≤ r < b).

2: Застосуємо алгоритм Евкліда до чисел (b) та (r). Тобто поділимо (b) на (r) з остачею:

b = rq’ + r’

де (0 ≤ r' < r).

3: Продовжимо цей процес, доки не отримаємо остачу (0). На останньому кроці матимемо:

r = r’q” + 0

4: Застосуємо розширений алгоритм Евкліда, щоб виразити (r') через (a) та (b):

r’ = r – r’q” = (r – b) – r’q” = a – b(q + q”)

5: Покладемо (x = q + q'') та (y = -q'). Тоді:

ax + by = a(q + q”) + b(-q’) = a(q – r’q”) + bq’ = a(q – (a – b(q + q”)))q” + bq’ = a * 0 + b * 1 = НСД(a, b)

Таким чином, ми отримали пару цілих чисел (x) та (y), які задовольняють рівняння Безу.

Застосування

Рівняння Безу має численні застосування в теорії чисел та інших галузях математики, зокрема:

• Знаходження НСД: Рівняння Безу можна використовувати для ефективного знаходження НСД двох чисел за допомогою розширеного алгоритму Евкліда.
• Розв'язування рівнянь в цілих числах: Використовуючи рівняння Безу, можна розв'язувати лінійні рівняння в цілих числах, наприклад: (ax + by = c), де (a), (b), і (c) – цілі числа.
• Апроксимація дробами: Рівняння Безу можна використовувати для знаходження найближчого до даного дробу з заданим знаменником.
• Теорема про залишки по модулю: Рівняння Безу тісно пов'язане з теоремою про залишки по модулю, яка використовується для розв'язування систем рівнянь по модулю.

Зв'язок з іншими поняттями

• Розширений алгоритм Евкліда: Рівняння Безу можна отримати як наслідок розширеного алгоритму Евкліда.
• НСД: Рівняння Безу виражає НСД через лінійну комбінацію двох даних чисел.
• Дробове апроксимування: Рівняння Безу використовується для знаходження найближчих дробових апроксимацій до даного дробу.

Рівняння Безу є фундаментальною теоремою в елементарній теорії чисел, яка виражає НСД двох чисел як лінійну комбінацію цих чисел. Воно має численні застосування в теорії чисел та інших галузях математики.

Запитання, що часто задаються

1. Що таке рівняння Безу?
2. Як довести рівняння Безу?
3. Які застосування рівняння Безу?
4. Який зв'язок рівняння Безу з розширеним алгоритмом Евкліда?
5. Як рівняння Безу пов'язане з НСД?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 24 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.