Рівняння Безу
Редактор: Михайло МельникТвердження
Рівняння Безу в елементарній теорії чисел стверджує, що для будь-яких двох цілих чисел (a) та (b), існує пара цілих чисел (x) та (y), таких що:
ax + by = НСД(a, b)
де НСД(a, b) – найбільший спільний дільник чисел (a) та (b).
Доведення
Доведення рівняння Безу можна здійснити за допомогою алгоритму Евкліда для знаходження НСД.
1: Поділимо (a) на (b) з остачею. Тобто знайдемо числа (q) та (r), такі що:
a = bq + r
де (0 ≤ r < b).
2: Застосуємо алгоритм Евкліда до чисел (b) та (r). Тобто поділимо (b) на (r) з остачею:
b = rq’ + r’
де (0 ≤ r' < r).
3: Продовжимо цей процес, доки не отримаємо остачу (0). На останньому кроці матимемо:
r = r’q” + 0
4: Застосуємо розширений алгоритм Евкліда, щоб виразити (r') через (a) та (b):
r’ = r – r’q” = (r – b) – r’q” = a – b(q + q”)
5: Покладемо (x = q + q'') та (y = -q'). Тоді:
ax + by = a(q + q”) + b(-q’) = a(q – r’q”) + bq’ = a(q – (a – b(q + q”)))q” + bq’ = a * 0 + b * 1 = НСД(a, b)
Таким чином, ми отримали пару цілих чисел (x) та (y), які задовольняють рівняння Безу.
Застосування
Рівняння Безу має численні застосування в теорії чисел та інших галузях математики, зокрема:
- Знаходження НСД: Рівняння Безу можна використовувати для ефективного знаходження НСД двох чисел за допомогою розширеного алгоритму Евкліда.
- Розв'язування рівнянь в цілих числах: Використовуючи рівняння Безу, можна розв'язувати лінійні рівняння в цілих числах, наприклад: (ax + by = c), де (a), (b), і (c) – цілі числа.
- Апроксимація дробами: Рівняння Безу можна використовувати для знаходження найближчого до даного дробу з заданим знаменником.
- Теорема про залишки по модулю: Рівняння Безу тісно пов'язане з теоремою про залишки по модулю, яка використовується для розв'язування систем рівнянь по модулю.
Зв'язок з іншими поняттями
- Розширений алгоритм Евкліда: Рівняння Безу можна отримати як наслідок розширеного алгоритму Евкліда.
- НСД: Рівняння Безу виражає НСД через лінійну комбінацію двох даних чисел.
- Дробове апроксимування: Рівняння Безу використовується для знаходження найближчих дробових апроксимацій до даного дробу.
Рівняння Безу є фундаментальною теоремою в елементарній теорії чисел, яка виражає НСД двох чисел як лінійну комбінацію цих чисел. Воно має численні застосування в теорії чисел та інших галузях математики.
Запитання, що часто задаються
- Що таке рівняння Безу?
- Як довести рівняння Безу?
- Які застосування рівняння Безу?
- Який зв'язок рівняння Безу з розширеним алгоритмом Евкліда?
- Як рівняння Безу пов'язане з НСД?
У вас є запитання чи ви хочете поділитися своєю думкою? Тоді запрошуємо написати їх в коментарях!
⚡⚡⚡ Топ-новини дня ⚡⚡⚡
Хто такий Такер Карлсон? Новий законопроект про мобілізацію З травня пенсію підвищать на 1000 гривень