Теорема Лузіна

Визначення

Теорема Лузіна стверджує, що для будь-якої вимірної функції на множині дійсних чисел існує її неперервна модифікація, що збігається з нею майже всюди.

Доведення

Доведення теореми ґрунтується на понятті нульової множини. Нульова множина — це множина, міра якої дорівнює нулю. Теорема стверджує, що для будь-якої вимірної функції існує нульова множина, на якій функція не є неперервною. Таким чином, досить довести, що для будь-якої вимірної функції та будь-якої нульової множини є неперервна функція, що збігається з вихідною функцією на доповненні множини нульової міри.

Застосування

Теорема Лузіна знаходить застосування в таких галузях математики:

А) Теорія міри та інтеграла

• Дозволяє будувати неперервні представники інтегрованих функцій.
• Використовується для вивчення абсолютно неперервних функцій.

Б) Функціональний аналіз

• Допомагає довести існування неперервних лінійних операторів у деяких функціональних просторах.
• Застосовується для доведення теореми Банаха-Штейнгауза.

В) Теорія ймовірностей

• Використовується для вивчення властивостей розподілу ймовірностей та випадкових величин.
• Дозволяє будувати неперервні модифікації розподілів ймовірностей.

Історія

Теорему довів Микола Лузін у 1915 році. Вона стала важливим досягненням у теорії міри та інтеграла та суттєво вплинула на розвиток сучасної математики.

Розширення та узагальнення

Існує ряд узагальнень та розширень теореми Лузіна:

А) Теорема Єгорова

• Стверджує, що для будь-якої вимірної функції та будь-якого додатного числа можна знайти замкнуту множину скінченної міри, на якій функція є неперервною.

Б) Теорема Сакса

• Узагальнює теорему Лузіна на вимірні векторно-значні функції.

В) Теорема Данжуа-Люзіна

• Описує умови, за яких модифікація за теоремою Лузіна також є абсолютно неперервною функцією.

Теорема Лузіна є фундаментальним результатом у теорії міри та інтеграла, що має численні застосування в різних галузях математики. Вона відіграє важливу роль у вивченні вимірних функцій та їх неперервних представників.

Часто задавані питання

• Які умови мають виконуватися для вимірної функції, щоб до неї можна було застосувати теорему Лузіна?
• На якій множині неперервна модифікація за теоремою Лузіна збігається з вихідною функцією?
• Як доводиться теорема Лузіна?
• Які існують узагальнення та розширення теореми Лузіна?
• У яких сферах математики застосовується теорема Лузіна?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 28 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.