Псевдоріманів многовид

Визначення

Псевдоріманів многовид — це диференційовний многовид, на якому визначено метричний тензор, що задовольняє наступним властивостям:

• Метричний тензор є невиродженим, тобто його детермінант відмінний від нуля в кожній точці.
• Метричний тензор не обов'язково додатноозначений.

Сигнатура метрики

Зазвичай передбачається, що сигнатура метричного тензора псевдоріманового многовида є постійною. Сигнатура метрики визначає кількість додатних і від'ємних власних значень метричного тензора в кожній точці.

• Для n-мірного псевдоріманового многовида сигнатура може бути представлена як (p, q), де p — кількість додатних власних значень, а q — кількість від'ємних власних значень.
• При p = q = n отримуємо ріманів многовид.
• При p = 0 отримуємо лоренцевий многовид.

Приклади

• Простір Мінковського: Плоский чотиривимірний простір-час з сигнатурою (1, 3).
• Простір де Сіттера: Чотиривимірний простір з постійною позитивною кривиною з сигнатурою (3, 1).
• Простір анти-де Сіттера: Чотиривимірний простір з постійною негативною кривиною з сигнатурою (1, 3).
• Керрове чорна діра: Аксиально-симетрична чорна діра з сигнатурою (2, 2).

Застосування

Псевдоріманові многовиди знаходять застосування в:

• Загальній теорії відносності: Простір-час представляється як чотиривимірний псевдоріманів многовид з сигнатурою (1, 3).
• Космології: Псевдоріманові многовиди використовуються для опису моделей еволюції Всесвіту.
• Теорії струн: Псевдоріманові многовиди є основою для формулювання багатьох теорій струн.

Псевдоріманові многовиди є важливим класом диференційовних многовидів, які знаходять застосування в багатьох галузях фізики та математики. Їхній метричний тензор дозволяє визначати поняття відстані, кутів та кривини, що робить їх корисними для вивчення геометрії та топології.

Часто задавані питання

1. Чим відрізняється псевдоріманів многовид від ріманового многовида?
2. Як визначається сигнатура метричного тензора псевдоріманового многовида?
3. Наведіть приклади псевдоріманових многовидів.
4. Які застосування псевдоріманових многовидів?
5. Яке значення псевдоріманових многовидів у загальній теорії відносності?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 26 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.