Матриця Сильвестра

Визначення

Матриця Сильвестра – це квадратна матриця, елементами якої є нулі, а також коефіцієнти двох многочленів, розміщені певним чином.

Побудова матриці Сильвестра

Матриця Сильвестра для двох многочленів

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0
g(x) = b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + … + b_1x + b_0

будується за таким правилом:

• Порядок матриці дорівнює m + n.
• Елементи верхньої трикутної частини матриці дорівнюють нулю.
• Елементи нижньої трикутної частини матриці заповнюються коефіцієнтами многочлена f(x) за рядками, починаючи з останнього рядка, і коефіцієнтами многочлена g(x) за стовпцями, починаючи з останнього стовпця.

Вид матриці Сильвестра

[ 0 0 … 0 a_n | a_{n-1} … a_1 a_0 ]
[ 0 0 … 0 0 | b_m … b_1 b_0 ]
[ 0 0 … 0 0 | 0 b_m … b_1 b_0 ]
[ … … … 0 0 | … … … b_m … b_1 b_0 ]
[ 0 0 … 0 0 | 0 0 … 0 b_m ]
[———————+—————————–]
[ f_m f_{m-1} … f_1 f_0 | f_m f_{m-1} … f_1 f_0 ]
[ f_{m+1} f_m … f_2 f_1 | f_{m+1} f_m … f_2 f_1 ]
[ … … … … … | … … … … … ]
[ f_{m+n-1} f_{m+n-2} … f_n | f_{m+n-1} f_{m+n-2} … f_n ]

Властивості матриці Сильвестра

• Визначник матриці Сильвестра дорівнює результанту многочленів f(x) і g(x).
• Якщо m = n, то матриця Сильвестра є симетричною.
• Ранг матриці Сильвестра дорівнює кількості спільних коренів многочленів f(x) і g(x).

Застосування матриці Сильвестра

Матриця Сильвестра використовується в різних галузях математики, зокрема:

• Теорії алгебри для знаходження кратних коренів многочленів.
• Теорії інваріантів для отримання інваріантів бінарних форм.
• Теорії матриць для визначення спектра матриць.

Матриця Сильвестра є важливим інструментом в алгебрі та інших галузях математики. Вона дозволяє вивчати властивості многочленів та матриць у єдиній структурі.

Часті запитання

1. Що таке матриця Сильвестра?
2. Як побудувати матрицю Сильвестра?
3. Які властивості матриці Сильвестра?
4. Які застосування матриці Сильвестра?
5. Як матриця Сильвестра може допомогти у вивченні многочленів?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 23 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.