Додатноозначена матриця

Додатноозначена матриця — це квадратна матриця, для якої значення квадратичної форми, заданої матрицею, є невід'ємним для будь-якого вектора. Інакше кажучи, додатньоозначена матриця має властивість, за якою внутрішній добуток будь-якого ненульового вектора з самим собою в просторі, визначеному матрицею, є додатним.

Властивості додатноозначених матриць

• Всі власні значення додатноозначеної матриці є невід'ємними.
• Додатноозначена матриця є симетричною.
• Діагональні елементи додатноозначеної матриці є додатними числами.
• Додатноозначена матриця є оберненою, і її обернена матриця також є додатноозначеною.
• Визначник додатноозначеної матриці є позитивним числом.

Додатноозначені матриці як узагальнення додатних чисел

Для розуміння ролі додатноозначених матриць як узагальнення додатних чисел розглянемо ермітові матриці, які є квадратними матрицями зі складеними елементами. Дійсні числа можна розглядати як особливий випадок ермітових матриць, які мають тільки дійсні елементи на діагоналі та нульові елементи за межами діагоналі.

Додатноозначена матриця — це ермітова матриця, для якої значення квадратичної форми, заданої матрицею, є невід'ємним для будь-якого вектора. Ця властивість є аналогічною до властивості невід'ємності квадратів дійсних чисел.

Таким чином, додатноозначені матриці можна розглядати як узагальнення додатних чисел у контексті ермітових матриць, які є більш абстрактним об'єктом у лінійній алгебрі.

Застосування додатноозначених матриць

Додатноозначені матриці мають численні застосування в різних областях науки та інженерії, включаючи:

• Оптимізація
• Статистика
• Обробка сигналів
• Квантова фізика

Наприклад, у статистиці додатноозначені матриці використовуються для представлення коваріаційних матриць, які описують ступінь взаємозалежності між випадковими змінними. В обробці сигналів додатноозначені матриці використовуються для представлення спектральних щільностей потужності, які описують розподіл потужності сигналу за частотою.

Узагальнення

Поняття додатноозначеної матриці можна узагальнити до довільних лінійних операторів у гільбертовому просторі. Лінійний оператор називається додатньоозначеним, якщо значення квадратичної форми, заданої оператором, є невід'ємним для будь-якого вектора в просторі.

Додатноозначені матриці є важливим класом квадратних матриць, які мають властивості, аналогічні властивостям додатних чисел. Вони широко використовуються в різних галузях науки та інженерії для представлення об'єктів, які мають невід'ємні значення.

Часті запитання

1. Які властивості мають додатноозначені матриці?
2. Як додатноозначені матриці пов'язані з ермітовими матрицями?
3. Де застосовуються додатноозначені матриці?
4. Яке узагальнення поняття додатноозначеної матриці?
5. Чи є всі симетричні матриці додатноозначеними?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 21 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.