Характеристичний поліном

# вікіпедія, Популярність: важлива

Редактор: Михайло Мельник

---

Характеристичний поліном квадратної матриці

Зміст:

1. Що таке характеристичний поліном?
2. Властивості характеристичного полінома
3. Застосування характеристичного полінома
4. Як обчислити характеристичний поліном?
5. Приклади обчислення характеристичного полінома
6. Висновок
7. Часто задавані питання

Що таке характеристичний поліном?

Характеристичний поліном квадратної матриці

$$\mathbf{A}$$

розміру

$$n\times n$$

— це многочлен степеня

$$n$$

від змінної

$$\lambda$$

, який дорівнює

$$p(\lambda)=\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$$,

де

$$\mathbf{I}$$

— одинична матриця розміру

$$n\times n$$.

Характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{A}$$

часто позначається як

$$p_{\mathbf{A}}(\lambda)$$.

Властивості характеристичного полінома

Характеристичний поліном квадратної матриці має такі властивості:

• Він є моноічним, тобто його старший коефіцієнт дорівнює 1.
• Його степінь дорівнює розміру матриці.
• Його коефіцієнти є симетричними, тобто

$$a_{-1}=a_n, a_{-2}=a_{n-1}, \dots, a_1=a_{n-1}$$.

Характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{A}$$

і транспонованої матриці

$$\mathbf{A}^T$$

збігаються.

Застосування характеристичного полінома

Характеристичний поліном квадратної матриці має широке застосування в лінійній алгебрі та інших галузях математики. Його використовують для:

• Знаходження власних значень та власних векторів матриці.
• Визначення оберненої матриці.
• Обчислення детермінанта матриці.
• Дослідження стійкості лінійної системи диференціальних рівнянь.
• Рішення алгебраїчних рівнянь.

Як обчислити характеристичний поліном?

Існує кілька методів обчислення характеристичного полінома квадратної матриці. Найбільш поширеними методами є:

• Метод розкладання на множники. Цей метод полягає в тому, що матриця

$$\mathbf{A}$$

представляється як добуток двох матриць, характеристичні поліноми яких відомі.

• Метод Гаусса. Цей метод полягає в тому, що матриця

$$\mathbf{A}$$

приводиться до верхньо-трикутного вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків.

• Метод Якобі. Цей метод полягає в тому, що матриця

$$\mathbf{A}$$

приводиться до діагонального вигляду за допомогою ортогональних перетворень.

Приклади обчислення характеристичного полінома

Розглянемо кілька прикладів обчислення характеристичного полінома квадратної матриці.

Приклад 1. Обчислимо характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$$.

Для цього скористаємося методом Гаусса. Приводимо матрицю

$$\mathbf{A}$$

до верхньо-трикутного вигляду:

$$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2\0&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}$$

Характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{A}$$

дорівнює добутку діагональних елементів верхньо-трикутної матриці:

$$p_{\mathbf{A}}(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$$

Приклад 2. Обчислимо характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2&1\-1&2\end{pmatrix}$$.

Для цього скористаємося методом Якобі. Приводимо матрицю

$$\mathbf{B}$$

до діагонального вигляду за допомогою ортогональних перетворень:

$$\begin{pmatrix}2&1\-1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$

Характеристичний поліном матриці

$$\mathbf{B}$$

дорівнює добутку діагональних елементів діагональної матриці:

$$p_{\mathbf{B}}(\lambda)=(3-\lambda)(1-\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3$$

Висновок

Характеристичний поліном квадратної матриці є важливим інструментом лінійної алгебри та інших галузей математики. Він має широке застосування в різних областях, таких як теорія диференціальних рівнянь, теорія чисел, теорія стійкості та інші.

Часто задавані питання

1. Що таке власні значення та власні вектори матриці?

Власні значення та власні вектори матриці

$$\mathbf{A}$$

— це такі числа

$$\lambda$$

та ненульові вектори

$$\mathbf{x}$$, що задовольняють рівняння

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$$.

2. Як знайти власні значення та власні вектори матриці?

Для того, щоб знайти власні значення та власні вектори матриці

$$\mathbf{A}$$, необхідно вирішити характеристичне рівняння

$$p_{\mathbf{A}}(\lambda)=0$$.

Корені цього рівняння є власними значеннями матриці

$$\mathbf{A}$$.

Для кожного власного значення

$$\lambda$$

власний вектор

$$\mathbf{x}$$

можна знайти як розв'язок системи лінійних рівнянь

$$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{x}=\mathbf{0}$$.

3. Що таке обернена матриця?

Обернена матриця до матриці

$$\mathbf{A}$$

— це матриця

$$\mathbf{A}^{-1}$$, така що

$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$$,

де

$$\mathbf{I}$$

— одинична матриця.

4. Як знайти обернену матрицю?

Для того, щоб знайти обернену матрицю до матриці

$$\mathbf{A}$$, необхідно вирішити систему лінійних рівнянь

$$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{I}$$.

Матриця

$$\mathbf{X}$$

буде оберненою матрицею до матриці

$$\mathbf{A}$$.

5. Що таке детермінант матриці?

Детермінант матриці

$$\mathbf{A}$$

— це число, яке характеризує матрицю і яке можна обчислити за допомогою різних методів.

Детермінант матриці

$$\mathbf{A}$$

позначається як

$$\det(\mathbf{A})$$

.

Залишити коментар