Характеристичний поліном

# вікіпедія, Популярність: важлива

Характеристичний Поліном Квадратної Матриці: Огляд

Визначення

Характеристичний поліном квадратної матриці

 
A

{\displaystyle \ A}

розміру

 
n
×
n

{\displaystyle \ n\times n}

— це многочлен степеня

 
n

{\displaystyle \ n}

від змінної

 
λ
,

{\displaystyle \ \lambda ,}

який дорівнює

 
p
A

(
λ
)
=
det
(
λ
I
−
A
)

{\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det (\lambda I-A)}

де

 
I

{\displaystyle \ I}

— одинична матриця розміру

 
n
×
n

{\displaystyle \ n\times n}

.

Властивості

• Характеристичний поліном матриці

   
  A

  {\displaystyle \ A}
  

  є многочленом степеня

   
  n

  {\displaystyle \ n}
  

  .

• Характеристичний поліном матриці

   
  A

  {\displaystyle \ A}
  

  є монолітним.

• Характеристичний поліном матриці

   
  A

  Є питання? Запитай в чаті зі штучним інтелектом!

  ВІДКРИТИ ЧАТ

  {\displaystyle \ A}
  

  є рівним нулю тоді і тільки тоді, коли

   
  A

  {\displaystyle \ A}
  

  вироджена.

• Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються.
• Коефіцієнти характеристичного полінома матриці

   
  A

  {\displaystyle \ A}
  

  пов'язані з її слідом і детермінантом за формулами:

  • След:

     
    tr
    (
    A
    )

    {\displaystyle \ \mathrm {tr}(A)}
    =

     
    λ
    1

    {\displaystyle \ \lambda _{1}}
    +

     
    λ
    2

    {\displaystyle \ \lambda _{2}}
    +

     
    ⋅
    ⋅
    ⋅

    {\displaystyle \ \cdot \cdot \cdot }
    +

     
    λ
    n

    {\displaystyle \ \lambda _{n}}

  • Детермінант:

     
    det
    (
    A
    )

    {\displaystyle \ \det(A)}
    =

     
    (
    −
    1
    )
    n
    λ
    1
    λ
    2
    ⋅
    ⋅
    ⋅
    λ
    n

    {\displaystyle \ (-1)^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdot \cdot \cdot \lambda _{n}}

Застосування

• Характеристичний поліном використовується для знаходження власних значень матриці.
• Характеристичний поліном використовується для обчислення визначника матриці.
• Характеристичний поліном використовується для визначення зворотної матриці.
• Характеристичний поліном використовується для вирішення систем лінійних рівнянь.

Висновок

Характеристичний поліном є важливим інструментом лінійної алгебри. Він має різноманітні застосування, у тому числі в теорії матриць, теорії чисел та чисельному аналізі.

Часті запитання

1. Що таке характеристичний поліном матриці?
2. Які властивості характеристичного полінома матриці?
3. Які застосування характеристичного полінома матриці?
4. Як знайти характеристичний поліном матриці?
5. Як використовувати характеристичний поліном матриці для знаходження власних значень матриці?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 29 01 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.