Формула Стірлінґа
Формула Стірлінга
Поняття
Формула Стірлінга є наближенням для факторіалів при великих значеннях n. Вона названа на честь шотландського математика Джеймса Стірлінга, який вивів її в 1730 році. Формальне твердження формули:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n
де:
- n – позитивне ціле число
- π – математична константа (приблизно 3,14159)
- e – основа натурального логарифма (приблизно 2,71828)
Виведення
Виведення формули Стірлінга базується на використанні інтегрального представлення факторіалу, яке визначається як:
n! = ∫₀^∞ x^n * e^(-x) dx
За допомогою методу перевалу Лапласа можна показати, що при великих n значення функції підінтегральної досягає максимуму в точці x = n. Тоді формула Стірлінга виводиться шляхом апроксимації функції підінтегральної в цій точці параболою.
Точність
Формула Стірлінга дає дуже точне наближення для факторіалів при великих n. Відносна похибка формули становить:
|n! – √(2πn) * (n/e)^n| / n! < 1 / 12n
Це означає, що для n > 100 похибка менша за 1%.
Застосування
Формула Стірлінга має широке застосування в різних галузях математики, фізики та статистики. Зокрема, вона використовується для:
- Обчислення факторіалів великих чисел
- Асимптотичної оцінки сум і добутків
- Вивчення розподілів ймовірностей
Узагальнення
Формулу Стірлінга можна узагальнити для комплексних чисел. Узагальнена формула Стірлінга має вигляд:
Γ(z) ≈ √(2πz) * (z/e)^z * (1 + 1 / (12z) + 1 / (288z^2) + …)
де:
- Γ(z) – гамма-функція
- z – комплексне число
Ця узагальнена формула є основою для асимптотичної теорії гамма-функції.
Формула Стірлінга є потужним інструментом для асимптотичної оцінки факторіалів та інших функцій. Вона має широке застосування в різних галузях математики, фізики та статистики.
Часто задавані запитання
- Для яких значень n формула Стірлінга дає хороше наближення?
- Як можна вивести формулу Стірлінга?
- Яка відносна похибка формули Стірлінга?
- Наведіть приклад застосування формули Стірлінга.
- Як можна узагальнити формулу Стірлінга для комплексних чисел?
Опубліковано