Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші – це критерій збіжності числового ряду, який використовується для визначення збіжності ряду з невід'ємними членами.

Формулювання ознаки

Припустимо, що маємо числовий ряд

∑n=1∞ an

з невід'ємними членами (an ≥ 0). Тоді ряд збігається (є сумовним), якщо існує додатне число r таке, що:

limn→∞an√n = r < 1

Якщо ж існує додатне r таке, що:

limn→∞an√n = r > 1

то ряд розбігається (не є сумовним).

Доведення ознаки

Якщо ряд збігається:

За визначенням збіжності числового ряду, існує число s, таке що:

limn→∞∑k=1nan = s

Тоді для будь-якого ε > 0 існує деяке натуральне число N, таке що:

|s – ∑k=1Nan| < ε

для всіх n > N. Це означає, що хвости ряду (суми послідовних членів починаючи з N-го) задовільняють умову:

|∑k=N+1∞an| < ε

Оскільки члени ряду невід'ємні, то за нерівністю для модуля послідовності маємо:

aN+1√N+1 + aN+2√N+2 + … ≤ ∑k=N+1∞an < ε

Ділимо на √N+1 і переходимо до границі при n → ∞:

limn→∞ aN+1√N+1 = limn→∞ ∑k=N+1∞an√k= r ≤ ε

Оскільки це справедливо для будь-якого ε > 0, то r = 0, тобто

limn→∞an√n = 0 < 1

Якщо ряд розбігається:

Якщо ряд розбігається, то його часткова сума не є обмеженою. Отже, для будь-якого c > 0, існує деякий індекс N, такий, що

∑k=1Nan > c

Оскільки члени ряду невід'ємні, то для n > N маємо:

aN+1√N+1 + aN+2√N+2 + … ≥ ∑k=N+1∞an > c

Ділимо на √N+1 і переходимо до границі при n → ∞:

limn→∞ aN+1√N+1 = limn→∞ ∑k=N+1∞an√k= r ≥ c

Оскільки це справедливо для будь-якого c > 0, то r = ∞, тобто

limn→∞an√n = ∞ > 1

Приклади використання

Приклад 1: Збіжний ряд

Розглянемо ряд

∑n=1∞ 1/n^2

Застосуємо радикальну ознаку Коші:

limn→∞ 1/n^2n = limn→∞ 1/n = 0 < 1

Отже, ряд збігається.

Приклад 2: Розбіжний ряд

Розглянемо ряд

∑n=1∞ n

Застосуємо радикальну ознаку Коші:

limn→∞ nn√n = limn→∞ n = ∞ > 1

Отже, ряд розбігається.

Застосування

Радикальна ознака Коші є потужним інструментом для визначення збіжності рядів з невід'ємними членами. Вона проста у застосуванні та часто є більш ефективною, ніж інші критерії збіжності, такі як ознака членів або ознака порівняння.

Висновки

Радикальна ознака Коші — це корисний критерій збіжності, який можна застосовувати для визначення збіжності рядів з невід'ємними членами. Якщо границя limn→∞an√n дорівнює числу, меншому за 1, то ряд збігається. Якщо ж ця границя більша за 1, то ряд розбігається.

Часто задавані питання

1. Що таке радикальна ознака Коші?

   Радикальна ознака Коші — це критерій збіжності числового ряду, який використовується для визначення збіжності рядів з невід'ємними членами.

2. Як формулюється радикальна ознака Коші?

   Ряд збігається, якщо існує додатне число r таке, що limn→∞an√n = r < 1, та розбігається, якщо limn→∞an√n = r > 1.

3. Як застосовується радикальна ознака Коші?

   Обчислюється границя limn→∞an√n і порівнюється її значення з 1.

4. За яких умов радикальна ознака Коші не може бути використана?

   Радикальна ознака Коші не може бути використана для рядів з від'ємними членами.

5. Чим радикальна ознака Коші відрізняється від ознаки членів?

   Радикальна ознака Коші використовується для рядів з невід'ємними членами, тоді як ознака членів використовується для рядів з довільними членами.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 22 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.