Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Означення

Інтегральна ознака Коші — Маклорена є критерієм збіжності для спадного додатного числового ряду:

a_1 ≥ a_2 ≥ a_3 ≥ … ≥ 0

Ознака стверджує, що такий ряд збігається тоді і тільки тоді, коли збігається невласний інтеграл від відповідної функції на нескінченному проміжку:

∫[1, ∞) f(x) dx < ∞

де f(x) = a_n є n-й член ряду.

Доведення

Необхідність (Якщо ряд збігається, то інтеграл збігається)

Нехай ряд збігається до суми S. Збіжність ряду означає, що його часткові суми обмежені:

s_n = a_1 + a_2 + … + a_n ≤ S

Звідси, оскільки f(x) = a_n, інтеграл від f(x) задовольняє:

∫[1, n] f(x) dx ≤ s_n ≤ S

Зі збіжності ряду випливає, що для будь-якого ε > 0 існує N таке, що для всіх n > N, |s_n – S| < ε. Отже, інтеграл також збігається:

∫[1, ∞) f(x) dx = lim_{n→∞} ∫[1, n] f(x) dx ≤ lim_{n→∞} s_n = S < ∞

Достатність (Якщо інтеграл збігається, то ряд збігається)

Припустимо, що інтеграл від f(x) збігається. Розглянемо часткову суму ряду:

s_n = a_1 + a_2 + … + a_n = ∫[1, n] f(x) dx + ∫[n+1, ∞) f(x) dx

За припущенням, другий інтеграл обмежений, наприклад, M. Отже, для будь-якого n > 1, маємо:

s_n ≤ ∫[1, n] f(x) dx + M

Оскільки інтеграл збігається, його значення обмежене для достатньо великих n. Отже, часткові суми s_n також обмежені. Це означає, що ряд є монотонно зростаючим і обмеженим, що доводить його збіжність.

Приклади застосування

Інтегральна ознака Коші — Маклорена можна використовувати для перевірки збіжності таких рядів:

• Гармонічний ряд: 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбіжний, оскільки відповідний інтеграл ln(x) не обмежений на [1, ∞))
• Ряд Рімана ζ(2): 1 + 1/4 + 1/9 + … (збіжний, оскільки відповідний інтеграл π²/6 збігається)
• Ряд для логарифмічної функції: ln(2) + ln(3)/2 + ln(4)/3 + … (збіжний, оскільки відповідний інтеграл 1/x збігається на [1, ∞))

Перевірка збіжності нескінченного інтеграла

Інтегральна ознака Коші — Маклорена також може використовуватися для перевірки збіжності нескінченного інтеграла. Якщо функція f(x) ≥ 0 для x ≥ 1 і спадає, то інтеграл від f(x) на [1, ∞) збігається тоді і тільки тоді, коли збігається відповідний спадний додатний ряд.

Застосування в теорії рядів

Інтегральна ознака Коші — Маклорена є потужним інструментом для дослідження збіжності рядів. Вона дозволяє звести перевірку збіжності рядів до перевірки збіжності інтегралів, що часто може бути знайдено в явному вигляді.

Інтегральна ознака Коші — Маклорена є цінним критерієм збіжності для спадних додатних рядів. Вона дозволяє перевіряти збіжність таких рядів, обчислюючи збіжність відповідного невласного інтеграла. Ознака має численні застосування в теорії рядів і допомагає визначити збіжність багатьох важливих рядів.

Часті запитання

• Для яких рядів можна використовувати інтегральну ознаку Коші — Маклорена?

  • Для спадних додатних рядів.

• Яка умова повинна виконуватися функцією f(x) для використання цієї ознаки?

  • f(x) ≥ 0 і спадає для x ≥ 1.

• На якому проміжку потрібно розглядати інтеграл?

  • На нескінченному проміжку [1, ∞).

• Що означає "задача зводиться до перевірки збіжності інтеграла"?

  • Якщо інтеграл збігається, то збігається і ряд, і навпаки.

• Чим корисна інтегральна ознака Коші — Маклорена?

  • Дозволяє використовувати обчислення для визначення збіжності рядів, що часто простіше, ніж пряма перевірка.