Інтегральна теорема Коші

# вікіпедія, Популярність: популярна

Інтегральна теорема Коші (також теорема Коші — Гурса)

Що таке інтегральна теорема Коші?

Інтегральна теорема Коші – одна з основних теорем комплексного аналізу, що встановлює зв’язок між інтегралом комплексної функції вздовж замкнутого контуру і значенням цієї функції всередині контуру.

Історія створення та доведення теореми Коші

Перші варіанти теореми Коші були сформульовані та доведені Оґюстеном-Луї Коші у 1825 році для диференційовних функцій, що мають неперервну похідну на гладкій кривій.

У 1883 році французький математик Едуард Гурса довів теорему для більш широкого класу функцій, що мають інтегруєму похідну на гладкій кривій.

Сучасне формулювання теореми Коші – Гурса говорить, що якщо функція f(z) неперервна на гладкій замкнутій кривій γ в комплексній площині, тоді інтеграл від f(z) вздовж γ дорівнює нулю.

Формулювання інтегральної теореми Коші

Нехай f(z) – комплексна функція, неперервна на гладкій замкнутій кривій γ в комплексній площині. Тоді інтеграл від f(z) вздовж γ дорівнює нулю, тобто:
“`
∮γ f(z) dz = 0
“`

Доведення теореми Коші

Доведення теореми Коші можна провести різними способами. Один із поширених способів полягає в застосуванні поняття похідної комплексної функції.

Нехай f(z) – комплексна функція, що має неперервну похідну на гладкій замкнутій кривій γ в комплексній площині. Тоді можна розглянути криволінійний інтеграл від f'(z) dz вздовж γ.

Застосовуючи формулу інтегрування по частинах, отримуємо:
“`
∮γ f'(z) dz = f(z) |γ
“`

де |γ| позначає довжину кривої γ. Але оскільки γ – замкнута крива, то |γ| = 0, а отже:
“`
∮γ f'(z) dz = 0
“`

Це означає, що функція f'(z) має primitives на γ, тобто існує функція F(z), така що F'(z) = f(z). Тоді, застосовуючи основну теорему аналізу, отримуємо:
“`
∮γ f(z) dz = F(z) |γ = F(z) – F(z) = 0
“`

Приклади застосування інтегральної теореми Коші

Інтегральна теорема Коші має численні застосування в комплексному аналізі, зокрема:

• Оцінка інтегралів від комплексних функцій вздовж гладких замкнутих кривих.
• Доведення теорем про існування та єдиність розв’язків лінійних диференціальних рівнянь з комплексними коефіцієнтами.
• Вивчення властивостей мероморфних функцій, тобто функцій, які мають лише ізольовані особливі точки.

Висновок

Інтегральна теорема Коші є одним з найважливіших результатів комплексного аналізу. Вона має численні застосування в різних галузях математики та фізики.

Найчастіші запитання:

1. Що таке комплексна функція?
2. Що таке інтеграл від комплексної функції?
3. Що таке гладка замкнута крива в комплексній площині?
4. Що таке неперервна функція?
5. Які застосування інтегральної теореми Коші?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 12 2023. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.