Теорема Пуассона

# вікіпедія, Популярність: середня

Якщо ймовірність успіху в схемі Бернуллі із n випробувань прямує до 0, то P(k) → ​​​​(λ^k/k!)*e^(-λ) при n → ∞, p → 0 та np → λ

У цій статті ми дослідимо цікавий результат теорії ймовірностей, який відомий як теорема Пуассона. Теорема Пуассона описує поведінку біноміального розподілу, коли кількість випробувань стає великою, а ймовірність успіху в кожному випробуванні стає дуже малою. Ми почнемо з огляду біноміального розподілу, а потім перейдемо до теореми Пуассона та її доказів. Нарешті, ми обговоримо деякі застосування теореми Пуассона в реальному світі.

Що таке біноміальний розподіл?
Біноміальний розподіл — це дискретний розподіл ймовірностей, який описує кількість успіхів у послідовності незалежних випробувань, кожне з яких має однакову ймовірність успіху. Біноміальний розподіл часто використовується для моделювання результатів експериментів, в яких є лише два можливих результати, наприклад, успіх або невдача.

Що таке теорема Пуассона?
Теорема Пуассона стверджує, що якщо ймовірність успіху в схемі Бернуллі з n випробувань прямує до 0, то ймовірність отримання k успіхів у n випробуваннях прямує до (λ^k/k!)*e^(-λ), де λ = np. Іншими словами, якщо кількість випробувань стає великою, а ймовірність успіху в кожному випробуванні стає дуже малою, то розподіл ймовірностей кількості успіхів усе більше наближається до розподілу Пуассона.

Доказ теореми Пуассона
Існує кілька різних способів довести теорему Пуассона. Один із способів полягає у використанні методу характеристичних функцій. Характеристична функція біноміального розподілу дорівнює:

“`
φ(t) = (pe^{it} + q)^n
“`

де p — ймовірність успіху, q = 1-p — ймовірність невдачі, а n — кількість випробувань.

Якщо ми візьмемо межу характеристичної функції біноміального розподілу при n → ∞, p → 0 і np → λ, ми отримаємо характеристичну функцію розподілу Пуассона:

“`
φ(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}
“`

Це показує, що біноміальний розподіл збігається до розподілу Пуассона за цих умов.

Застосування теореми Пуассона
Теорема Пуассона має багато застосувань у реальному світі. Ось кілька прикладів:

* Аналіз страхових претензій: Теорема Пуассона може використовуватися для моделювання кількості страхових претензій, які компанія отримує протягом певного періоду часу.
* Контроль якості: Теорема Пуассона може використовуватися для контролю якості продукції. Наприклад, виробник може використовувати теорему Пуассона для визначення кількості дефектів, які можна очікувати знайти в партії продукції.
* Телекомунікації: Теорема Пуассона може використовуватися для моделювання кількості телефонних дзвінків, які надходять на телефонну станцію протягом певного періоду часу.

Висновок
Теорема Пуассона є потужним інструментом для моделювання кількості успіхів у послідовності незалежних випробувань, кожне з яких має однакову ймовірність успіху. Теорема має багато застосувань у реальному світі, включаючи аналіз страхових претензій, контроль якості та телекомунікації.

Питання, що часто задаються

* Що таке схема Бернуллі?

Схема Бернуллі — це послідовність незалежних випробувань, кожне з яких має однакову ймовірність успіху.

* Що таке біноміальний розподіл?

Біноміальний розподіл – це дискретний розподіл ймовірностей, який описує кількість успіхів у схемі Бернуллі з n випробувань.

* Що таке теорема Пуассона?

Теорема Пуассона стверджує, що якщо ймовірність успіху в схемі Бернуллі з n випробувань прямує до 0, то ймовірність отримання k успіхів у n випробуваннях прямує до (λ^k/k!)*e^(-λ), де λ = np.

* Як довести теорему Пуассона?

Одним із способів довести теорему Пуассона є використання методу характеристичних функцій.

* Які застосування теореми Пуассона?

Теорема Пуассона має багато застосувань у реальному світі, включаючи аналіз страхових претензій, контроль якості та телекомунікації.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 12 2023. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.