Інтегральна формула Коші

Визначення

Інтегральна формула Коші — фундаментальна формула комплексного аналізу, що дозволяє виразити значення аналітичної (регулярної) функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області.

Формулювання

Нехай (f(z)) — аналітична функція в області (D), а (C) — будь-який простий замкнутий контур у (D). Тоді для будь-якого (z_0) всередині (C) справедлива формула:

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} dz

де інтеграл береться по контуру (C) проти годинникової стрілки (напрям обходу визначається з точки зору спостерігача всередині контуру).

Доведення

Доведення формули Коші базується на двох теоремах: теоремі про розкладання функції в ряд Тейлора та інтегральній теоремі Коші.

Значення та застосування

Формула Коші є потужним інструментом у комплексному аналізі. Вона використовується для:

• Доведення еквівалентності понять голоморфності (диференційовності в околі) та аналітичності.
• Обчислення контурних інтегралів у комплексній площині.
• Дослідження сингулярних точок функцій.
• Визначення коефіцієнтів ряду Лорана.

Узагальнення

Формула Коші має кілька узагальнень, включаючи:

• Формула Коші для похідної:

f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint\limits_{C} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz

• Формула Коші для інтеграла:

\int\limits_C f(z) dz = 2\pi i \sum\limits_{i=1}^m \text{Res}(f, a_i)

де (a_1, …, a_m) — полюси функції (f(z)) всередині (C), а (\text{Res}(f, a_i)) — відповідні лишки.

Інтегральна формула Коші є основоположним результатом комплексного аналізу, що дозволяє глибше зрозуміти поведінку аналітичних функцій. Вона має численні застосування в теорії функцій комплексних змінних та інших галузях математики.

Запитання, що часто задаються

• Що означає поняття "аналітична функція"?
• Які умови накладає теорема Коші на контур інтегрування?
• Як використовувати формулу Коші для обчислення контурних інтегралів?
• Які узагальнення формули Коші існують?
• Які застосування формули Коші в інших галузях науки?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 12 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.