Лишок

Визначення

У комплексному аналізі лишком функції називається число, яке описує поведінку її криволінійних інтегралів навколо особливої точки. Лишок є фундаментальним поняттям в комплексному аналізі, оскільки він дозволяє обчислювати значення інтегралів різних типів, включаючи дійсні інтеграли.

Формальне визначення

Нехай f(z) – мероморфна функція з особливою точкою c. Для достатньо малого дійсного числа r > 0 визначимо коло Г(c, r) радіуса r навколо c та обчислимо інтеграл

I = ∫g(z) dz

де g(z) – функція, що дорівнює f(z) всередині кола Г(c, r) і 0 зовні кола. Тоді лишок функції f(z) у точці c визначається як

Res(f, c) = lim (r -> 0) (1/2πi) ∫g(z) dz

де 2πi – уявна одиниця.

Обчислення лишків

Існує кілька методів обчислення лишків. Один із найпоширеніших методів – це метод формул Коші. Цей метод використовує похідні функції f(z) у точці c для обчислення її лишків.

Формули Коші:

• Скінченний полюс: Якщо c – полюс порядку m, то лишок дорівнює:

Res(f, c) = 1/(m-1)! lim (z – c)^(m-1) f^(m)(z)

• Полюс нескінченного порядку: Якщо c – полюс нескінченного порядку, то лишок дорівнює:

Res(f, c) = lim f(z) /(e^(-z/c))

Застосування

Лишки мають широке застосування в комплексному аналізі, зокрема:

• Оцінювання інтегралів: Лишки можна використовувати для обчислення криволінійних інтегралів мероморфних функцій навколо особливих точок.
• Обчислення залишків рядів Лорана: Лишки використовуються для визначення коефіцієнтів у рядах Лорана для мероморфних функцій.
• Аналітичне продовження: Лишки використовуються для аналітичного продовження мероморфних функцій на більш широку область.

Приклади

• Для функції f(z) = 1/(z-c), де c – константа, лишок у точці c дорівнює 1.
• Для функції f(z) = e^z/(z-c), де c – константа, лишок у точці c дорівнює e^c.
• Для функції f(z) = sin(z)/z, лишок у точці z = 0 дорівнює 0.

Лишок є важливим поняттям у комплексному аналізі, яке дозволяє обчислювати інтеграли мероморфних функцій і аналізувати їх поведінку навколо особливих точок. Розуміння лишків є фундаментальним для багатьох галузей математики та інженерії.

Часто задавані питання

1. Що таке лишок функції?
2. Як обчислюються лишки?
3. Які існують різні методи обчислення лишків?
4. Які застосування лишків у комплексному аналізі?
5. Як лишки використовуються для оцінювання інтегралів?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 14 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.