Подвійні числа
Загальні відомості
Подвійні числа, відомі також як спліт-комплексні числа, дійсні тессаріни або комплексні числа гіперболічного типу, є гіперкомплексними числами, які представляються у вигляді:
$$a+bj,$$
де $a$ і $b$ — дійсні числа, а $j$ — уявна одиниця, яка задовольняє умову:
$$j^2 = +1.$$
Подвійні числа були введені у 1844 році Джеймсом Коклом і незалежно у 1848 році Вільямом Роуеном Гамільтоном. Вони тісно пов'язані з Евклідовою геометрією, зокрема, з гіперболічною геометрією.
Арифметичні операції
Для подвійних чисел визначаються такі арифметичні операції:
- Додавання: $(a+bj) + (c+dj) = (a+c) + (b+d)j$
- Віднімання: $(a+bj) – (c+dj) = (a-c) + (b-d)j$
- Множення: $(a+bj)(c+dj) = (ac+bd) + (bc-ad)j$
- Ділення: $\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)j}{c^2+d^2}$
Геометрична інтерпретація
Подвійні числа тісно пов'язані з гіперболічною геометрією. Вони можуть бути представлені як точки на гіперболічній площині. Дійсна частина подвійного числа представляє гіперболічну відстань від початку координат до заданої точки, а уявна частина представляє кут між позитивною віссю x і прямою, що з'єднує початок координат із заданою точкою.
Застосування
Подвійні числа широко використовуються в різних областях, зокрема:
- Гіперболічна геометрія
- Теорія відносності
- Комплексний аналіз
- Обчислювальна геометрія
- Квантова механіка
Пов'язані поняття
- Комплексні числа: Подвійні числа є розширенням комплексних чисел. У комплексних числах уявна одиниця задовольняє умову $i^2 = -1$, тоді як у подвійних числах $j^2 = +1$.
- Кватерніони: Кватерніони є гіперкомплексними числами, які мають чотири компоненти, а не дві. Вони також пов'язані з геометрією, але з тривимірним простором.
Подвійні числа є потужним інструментом для вивчення гіперболічної геометрії та інших пов'язаних областей. Їх унікальні властивості роблять їх особливо корисними для представлення точок і перетворень на гіперболічній площині.
Часто задавані питання:
- Що таке подвійні числа?
- Як працюють арифметичні операції з подвійними числами?
- Яка геометрична інтерпретація подвійних чисел?
- Де використовуються подвійні числа?
- Як подвійні числа пов'язані з іншими видами гіперкомплексних чисел?
Опубліковано