Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя

Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя (NBG) — аксіоматична теорія множин першого порядку, що є розширенням теорії множин Цермело — Френкеля (ZF). На відміну від ZF, NBG є скінченно аксіоматизованою теорією, яка дозволяє оперувати як множинами, так і класами.

Аксіоматика NBG

Мова теорії NBG включає:

• Символи множин і класів ($x,y,z,\dots$)
• Логічні зв'язки ($\neg,\land,\lor,\Rightarrow,\Leftrightarrow$)
• Квантори загальності та існування ($\forall,\exists$)
• Символ рівності (=)
• Символ належності ($\in$)

Аксіоми NBG:

1. Аксіома порожньої множини: Існує унікальна множина, що не містить жодних елементів (позначається як $\emptyset$)
2. Аксіома об'єднання: Для будь-якого набору множин існує множина, яка містить всі елементи цих множин
3. Аксіома перетину: Для будь-якого набору множин існує множина, яка містить лише елементи, що належать всім цим множинам
4. Аксіома пари: Для будь-якої пари множин існує множина, що містить тільки ці дві множини
5. Аксіома виділення: Для будь-якої множини $x$ і формули $P(x)$ існує множина $y$, що складається з усіх елементів $x$, що задовольняють $P(x)$
6. Аксіома обмеження: Для будь-якої множини $x$ і класу $K$ існує множина $y$, що складається з усіх елементів $x$, що належать $K$
7. Аксіома неперетинності класифікації: Якщо два класи $K_1$ і $K_2$ неперетинні, то існує множина $x$, що належить одному з них, але не іншому
8. Схема аксіом розуміння множин: Для будь-якої формули $P(x)$, де $x$ — змінна множини, існує множина $y$ така, що $x\in y\Leftrightarrow P(x)$
9. Аксіома регулярності: Для будь-якої непорожньої множини $x$ існує елемент $y\in x$ такий, що $x\cap y=\emptyset$

Класи

У теорії NBG розрізняють множини та класи. Множина — це колекція об'єктів, що задовольняють певну властивість. Клас — це колекція об'єктів, що не обов'язково задовольняють будь-яку властивість. Наприклад, множина всіх натуральних чисел — це множина, а клас всіх множин — це клас.

Особливості NBG

• Скінченна аксіоматизація: NBG має скінченне число аксіом, на відміну від ZF, яка має нескінченну аксіому нескінченності.
• Можливість оперування класами: У NBG можна вільно оперувати як множинами, так і класами, що дає змогу висловлювати більш складні твердження про множини.
• Консервативність відносно ZF: Теорія NBG є консервативним розширенням ZF, тобто всі твердження про множини, що можуть бути доведені в ZF, також можуть бути доведені в NBG.

Застосування NBG

Теорія NBG має важливе значення в математичних доказах, особливо в теорії множин, логіці та теорії моделей. Вона використовується для вивчення фундаментальних питань про природу множин, класів, нескінченності та трансфінітних чисел.

Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя — це потужна аксіоматична теорія, що розширює теорію множин Цермело — Френкеля. Вона дозволяє вільно оперувати як множинами, так і класами і має важливе значення для вивчення фундаментальних питань про природу нескінченності та теорії множин.

Часті запитання

1. Що таке теорія множин NBG?
2. Які відмінності між NBG та ZF?
3. Чи можна оперувати класами в NBG?
4. Для чого використовується NBG?
5. Що робить теорію NBG консервативною відносно ZF?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 18 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.