Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя
Редактор: Михайло МельникТеорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя (NBG) — аксіоматична теорія множин першого порядку, що є розширенням теорії множин Цермело — Френкеля (ZF). На відміну від ZF, NBG є скінченно аксіоматизованою теорією, яка дозволяє оперувати як множинами, так і класами.
Аксіоматика NBG
Мова теорії NBG включає:
- Символи множин і класів ($x,y,z,\dots$)
- Логічні зв'язки ($\neg,\land,\lor,\Rightarrow,\Leftrightarrow$)
- Квантори загальності та існування ($\forall,\exists$)
- Символ рівності (=)
- Символ належності ($\in$)
Аксіоми NBG:
- Аксіома порожньої множини: Існує унікальна множина, що не містить жодних елементів (позначається як $\emptyset$)
- Аксіома об'єднання: Для будь-якого набору множин існує множина, яка містить всі елементи цих множин
- Аксіома перетину: Для будь-якого набору множин існує множина, яка містить лише елементи, що належать всім цим множинам
- Аксіома пари: Для будь-якої пари множин існує множина, що містить тільки ці дві множини
- Аксіома виділення: Для будь-якої множини $x$ і формули $P(x)$ існує множина $y$, що складається з усіх елементів $x$, що задовольняють $P(x)$
- Аксіома обмеження: Для будь-якої множини $x$ і класу $K$ існує множина $y$, що складається з усіх елементів $x$, що належать $K$
- Аксіома неперетинності класифікації: Якщо два класи $K_1$ і $K_2$ неперетинні, то існує множина $x$, що належить одному з них, але не іншому
- Схема аксіом розуміння множин: Для будь-якої формули $P(x)$, де $x$ — змінна множини, існує множина $y$ така, що $x\in y\Leftrightarrow P(x)$
- Аксіома регулярності: Для будь-якої непорожньої множини $x$ існує елемент $y\in x$ такий, що $x\cap y=\emptyset$
Класи
У теорії NBG розрізняють множини та класи. Множина — це колекція об'єктів, що задовольняють певну властивість. Клас — це колекція об'єктів, що не обов'язково задовольняють будь-яку властивість. Наприклад, множина всіх натуральних чисел — це множина, а клас всіх множин — це клас.
Особливості NBG
- Скінченна аксіоматизація: NBG має скінченне число аксіом, на відміну від ZF, яка має нескінченну аксіому нескінченності.
- Можливість оперування класами: У NBG можна вільно оперувати як множинами, так і класами, що дає змогу висловлювати більш складні твердження про множини.
- Консервативність відносно ZF: Теорія NBG є консервативним розширенням ZF, тобто всі твердження про множини, що можуть бути доведені в ZF, також можуть бути доведені в NBG.
Застосування NBG
Теорія NBG має важливе значення в математичних доказах, особливо в теорії множин, логіці та теорії моделей. Вона використовується для вивчення фундаментальних питань про природу множин, класів, нескінченності та трансфінітних чисел.
Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя — це потужна аксіоматична теорія, що розширює теорію множин Цермело — Френкеля. Вона дозволяє вільно оперувати як множинами, так і класами і має важливе значення для вивчення фундаментальних питань про природу нескінченності та теорії множин.
Часті запитання
- Що таке теорія множин NBG?
- Які відмінності між NBG та ZF?
- Чи можна оперувати класами в NBG?
- Для чого використовується NBG?
- Що робить теорію NBG консервативною відносно ZF?
У вас є запитання чи ви хочете поділитися своєю думкою? Тоді запрошуємо написати їх в коментарях!
⚡⚡⚡ Топ-новини дня ⚡⚡⚡
Хто такий Такер Карлсон? Новий законопроект про мобілізацію З травня пенсію підвищать на 1000 гривень