Рід (математика)

Визначення

У топології рід замкнутої орієнтованої поверхні S визначається як число ручок, необхідних для того, щоб зробити її гомеоморфною сфері. Ручка – це двовимірний диск із двома граничними колами.

Гомеоморфізм

Гомеоморфізм – це безперервне оборотне відображення між двома топологічними просторами. Іншими словами, це деформація одного простору в інший без розривів або склеювань.

Ручки

Ручка прикріплюється до поверхні, створюючи нове граничне коло. Після прикріплення ручки поверхня набуває нової характеристики Ейлера:

χ(S) = χ(S’) + 1

де:

• χ(S) – характеристика Ейлера поверхні S
• χ(S') – характеристика Ейлера поверхні S з прикріпленою ручкою

Характеристика Ейлера виражається формулою:

χ(S) = V – E + F

де:

• V – число вершин
• E – число ребер
• F – число граней

Число ручок

Рід замкнутої орієнтованої поверхні дорівнює кількості ручок, необхідних для того, щоб отримати характеристику Ейлера сфери:

χ(Sphère) = V – E + F = 2

Оскільки прикріплення кожної ручки збільшує характеристику Ейлера на 1, число ручок дорівнює різниці між характеристикою Ейлера заданої поверхні та характеристикою Ейлера сфери:

g = χ(S) – 2

Приклади

• Сфера має рід 0, оскільки вона не має ручок.
• Тор має рід 1, оскільки він гомеоморфний сфері з однією ручкою.
• Бутель Клейна має рід 2, оскільки він гомеоморфний сфері з двома ручками.

Властивості

• Рід незмінний відносно гомеоморфізму.
• Поверхні з однаковим родом мають однакову топологічну структуру.
• Рід пов'язаний з іншими інваріантами поверхні, такими як число Бетті.

Рід є важливим інваріантом замкнутих орієнтованих поверхонь, який характеризує їх топологічну структуру. Він визначається як число ручок, необхідних для того, щоб зробити поверхню гомеоморфною сфері.

Часті запитання

1. Яке визначення роду замкнутої орієнтованої поверхні?
2. Що таке гомеоморфізм і як він пов'язаний із родом?
3. Як обчислити рід поверхні за її характеристикою Ейлера?
4. Які приклади поверхонь з різними родами?
5. Які інші інваріанти поверхні пов'язані з родом?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 11 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.