Подвійне число Мерсенна
У математиці подвійне число Мерсенна — це число Мерсенна у формі:
M_p2 = (2^p – 1)^2 – 1
де p — просте число.
Числа Мерсенна, названі на честь французького монаха Марена Мерсенна, мають форму:
M_p = 2^p – 1
Подвійні числа Мерсенна виникають у вивченні досконалих чисел, які є числами, дорівнюють сумі своїх власних дільників. Якщо p — просте число, тоді число
(2^(p-1)) * (2^p – 1)
буде досконалим. Отже, якщо число Мерсенна M_p є простим, то подвійне число Мерсенна M_p2 буде досконалим.
Історія
Марин Мерсенн вперше дослідив числа Мерсенна в 17 столітті. Під час досліджень він висловив припущення, що всі числа Мерсенна є простими, коли p — просте. Однак пізніше було доведено, що це не так. Перше число Мерсенна, яке виявилося складеним, — M_11, яке було відкрито в 1750 році.
Властивості
Подвійні числа Мерсенна мають ряд цікавих властивостей:
- Вони завжди парні.
- Вони завжди більші за відповідне число Мерсенна.
- Якщо p є непарним простим числом, тоді M_p2 ділиться на 12.
- Якщо p є взаємно простим з числом 24, тоді M_p2 ділиться на 96.
- Подвійне число Мерсенна M_p2 є простим тоді й лише тоді, коли M_p є простим.
Використання подвійних чисел Мерсенна
Подвійні числа Мерсенна мають застосування в різних областях, включаючи:
- Теорія чисел
- Кріптографія
- Генерація псевдовипадкових чисел
Відомі подвійні числа Мерсенна
Станом на 2023 рік відомо лише 6 простих подвійних чисел Мерсенна. Вони мають вигляд:
M_2^2 = 3
M_3^2 = 7
M_5^2 = 21
M_7^2 = 127
M_13^2 = 8191
M_19^2 = 524287
Подвійні числа Мерсенна — це цікавий і загадковий клас чисел, який вивчається математиками протягом століть. Їхні унікальні властивості роблять їх важливими для різних областей математики та інформатики.
Поширені питання
- Що таке подвійне число Мерсенна?
- Який вигляд мають подвійні числа Мерсенна?
- Чи всі подвійні числа Мерсенна є простими?
- Які застосування мають подвійні числа Мерсенна?
- Скільки простих подвійних чисел Мерсенна відомо на сьогоднішній день?
Опубліковано