Перша теорема Веєрштрасса – довідка

# вікіпедія, Популярність: важлива

Перша теорема Веєрштрасса: обмеженість неперервної функції на відрізку

Перша теорема Веєрштрасса є однією з основних теорем аналізу, яка стверджує, що неперервна функція на відрізку є обмеженою. Це означає, що існують два числа, верхня і нижня межа, між якими приймає значення функція на всьому відрізку.

Доведення

Доведення першої теореми Веєрштрасса базується на принципі найменшої верхньої межі. Основна ідея доведення полягає в наступному: якщо функція неперервна на відрізку, то на цьому відрізку існує точка, в якій функція досягає свого найбільшого значення. Ця точка є граничною точкою послідовності, що складається із значень функції в послідовності точок, що згущуються до цієї граничної точки. Аналогічно існує точка, в якій функція досягає свого найменшого значення.

Оскільки функція неперервна, вона є також обмеженою на відрізку. Оскільки функція приймає найбільше і найменше значення на відрізку, вона повинна бути обмеженою між цими значеннями.

Наслідки першої теореми Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса має важливі наслідки для аналізу. Зокрема, вона дозволяє довести існування максимуму та мінімуму неперервної функції на відрізку.

Приклади

Розглянемо функцію f(x) = x на відрізку

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 24 12 2023. Поданий під Технології. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.