Невласний інтеграл

Визначення

Невласний інтеграл — розширення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє інтегрувати на безмежних проміжках або коли інтеграл від функції на скінченному проміжку не існує у звичайному розумінні.

Типи невласних інтегралів

Існує два основних типи невласних інтегралів:

1. Невласний інтеграл першого роду: Інтеграл від функції на нескінченному проміжку вигляду:

∫[a, ∞) f(x) dx або ∫[−∞, b] f(x) dx

2. Невласний інтеграл другого роду: Інтеграл від функції, яка має нескінченний розрив на скінченному проміжку вигляду:

∫[a, c] f(x) dx або ∫[c, b] f(x) dx

де c — точка розриву.

Методи розв'язання

Для розв'язання невласних інтегралів використовують такі методи:

Інтегрування частинами:

∫[a, ∞) f(x) dx = lim[a->∞] (F(x) – xg(x))

де F(x) — первісна для f(x), а g(x) — первісна для 1.

Заміна змінної:

Якщо перетворення x = g(t) переводить невласний інтеграл на скінченний проміжок, то використовується формула:

∫[a, ∞) f(x) dx = ∫[g(a), ∞) f(g(t)) g'(t) dt

Оцінювання на нескінченності:

Якщо інтеграл від функції f(x) на проміжку [a, b] не існує, але існує дійсне число L таке, що:

lim[b->∞] ∫[a, b] f(x) dx = L

то невласний інтеграл на нескінченності дорівнює L:

∫[a, ∞) f(x) dx = L

Властивості

1. Невласний інтеграл лінійний.
2. Якщо функція f(x) ≥ 0 на проміжку [a, ∞), то невласний інтеграл від f(x) на цьому проміжку або сходиться, або дорівнює +∞.
3. Якщо невласні інтеграли від функцій f(x) та g(x) існують на проміжку [a, ∞), то існує і невласний інтеграл від їх суми:

∫[a, ∞) (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, ∞) f(x) dx + ∫[a, ∞) g(x) dx

Застосування

Невласні інтеграли використовуються у різних галузях математики та фізики, зокрема для:

• Обчислення об'єму та площі фігур
• Знаходження ймовірностей
• Вирішення диференціальних рівнянь

Невласний інтеграл є важливим поняттям у математичному аналізі, яке дозволяє інтегрувати на нескінченних проміжках або за наявності особливостей функції. Він має широке застосування у різних областях знань.

Часті запитання

1. Що таке невласний інтеграл?
2. Які є типи невласних інтегралів?
3. Як розв'язувати невласні інтеграли?
4. Які властивості має невласний інтеграл?
5. Де застосовуються невласні інтеграли?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 03 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.