Лінійний інтеграл

# вікіпедія, Популярність: помірна

Лінійний інтеграл векторного поля по довжині дуги кривої

Іноді виникає необхідність розраховувати інтеграл від векторного поля по лінії. Такий інтеграл називається лінійним інтегралом векторного поля.
У цьому випадку лінією є крива, яку задає векторна функція.

Лінійним інтегралом векторного поля називається інтеграл, що береться по лінії. Лінія може бути кривою або ламаною, а векторне поле може бути визначено в точках лінії або на відрізку на ній. Лінійні інтеграли використовуються для обчислення роботи, виконаної силовим полем вздовж шляху, теплоти, що передається середовищем через поверхню, і низки інших фізичних величин.

Визначення лінійного інтеграла векторного поля

Лінійним інтегралом векторного поля

F

по кривій

C

називається число, яке обчислюється за формулою:

\( \int\limits_C F \cdot d\mathbf{r} \)

де

\( d\mathbf{r} \)

– диференціал дугової довжини кривої

C

.

Властивості лінійного інтеграла векторного поля

* Лінійний інтеграл векторного поля є лінійним оператором, тобто якщо

\( F_1 \)

і

\( F_2 \)

– два векторних поля, а

\( a \)

і

\( b \)

– два числа, то

\( \int\limits_C (F_1 + F_2) \cdot d\mathbf{r} = \int\limits_C F_1 \cdot d\mathbf{r} + \int\limits_C F_2 \cdot d\mathbf{r} \)

\( \int\limits_C aF \cdot d\mathbf{r} = a \int\limits_C F \cdot d\mathbf{r} \)

* Лінійний інтеграл векторного поля є інваріантним відносно параметризації кривої, тобто якщо

\( C_1 \)

і

\( C_2 \)

– дві параметризації однієї і тієї ж кривої, то

\( \int\limits_{C_1} F \cdot d\mathbf{r} = \int\limits_{C_2} F \cdot d\mathbf{r} \)

Застосування лінійного інтеграла векторного поля

Лінійні інтеграли векторних полів використовуються для розв’язування багатьох задач фізики та математики. Ось деякі з найпоширеніших застосувань:

* Робота, виконана силовим полем вздовж шляху.
* Теплота, що передається середовищем через поверхню.
* Циркуляція векторного поля навколо замкнутої кривої.
* Потік векторного поля через поверхню.

Приклад обчислення лінійного інтеграла векторного поля

Нехай дано векторне поле

\( \mathbf{F}(x, y) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \)

і крива

\( C \)

, задана параметричними рівняннями:

\( x = t \)

\( y = t^2 \)

\( 0 \le t \le 1 \)

Щоб обчислити лінійний інтеграл векторного поля

\( \mathbf{F} \)

по кривій

\( C \)

, потрібно спочатку знайти диференціал дугової довжини кривої

\( C \)

:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} \)

\( ds = \sqrt{(dt)^2 + (2t dt)^2} \)

\( ds = \sqrt{1 + 4t^2} dt \)

Потім потрібно підставити векторне поле

\( \mathbf{F} \)

і диференціал дугової довжини кривої

\( C \)

у формулу для лінійного інтеграла векторного поля:

\( \int\limits_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int\limits_0^1 (t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j}) \cdot (\mathbf{i} + 2t\mathbf{j}) \sqrt{1 + 4t^2} \ dt \)

\( = \int\limits_0^1 (t + 2t^3) \sqrt{1 + 4t^2} \ dt \)

\( = \frac{1}{12} (1 + 4t^2)^{3/2} \bigg\vert_0^1 \)

\( = \frac{1}{12} (1 + 4)^{3/2} – \frac{1}{12} (1)^{3/2} \)

\( = \frac{5\sqrt{5} – 1}{12} \)

Висновок

Лінійний інтеграл векторного поля є важливим математичним інструментом, який використовується для розв’язування багатьох задач фізики та математики. В цій статті ми розглянули визначення, властивості та застосування лінійного інтеграла векторного поля, а також навели приклад обчислення лінійного інтеграла векторного поля.

Питання, що часто задаються

1. Що таке лінійний інтеграл векторного поля?
2. Які властивості лінійного інтеграла векторного поля?
3. Де застосовується лінійний інтеграл векторного поля?
4. Як обчислити лінійний інтеграл векторного поля?
5. Наведіть приклад обчислення лінійного інтеграла векторного поля.

Залишити коментар