Група (математика)

Група — один з центральних понять сучасної алгебри, що характеризує множину елементів з певною операцією над ними, яка має фундаментальне значення для широкого спектру суміжних дисциплін. Генетично, поняття групи виникло як множина всіх перетворень (симетрій) певної структури. При цьому результат послідовного застосування двох перетворень також є перетворенням цієї структури.

Визначення абстрактної групи

Абстрактна група визначається як множина G з операцією множення (композиції) ∙, яка задовольняє наступним аксіомам:

• Асоціативність: Для будь-яких трьох елементів групи a, b, c ∈ G виконується рівність:

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

• Існування нейтрального елемента: Існує такий елемент групи e ∈ G, що для будь-якого a ∈ G виконується:

e ∙ a = a ∙ e = a

• Існування оберненого елемента: Для будь-якого елемента групи a ∈ G існує такий елемент a⁻¹ ∈ G (називається оберненим до a), що виконується:

a ∙ a⁻¹ = a⁻¹ ∙ a = e

Порядок групи

Порядком групи G називається кількість елементів в ній і позначається як |G|. Якщо порядок групи кінцевий, то група називається скінченною. В іншому випадку група називається нескінченною.

Підгрупи

Підгрупа групи G — це підмножина H ⊂ G, яка сама є групою щодо операції множення, визначеної в G. Іншими словами, для будь-яких a, b ∈ H має виконуватися:

a ∙ b⁻¹ ∈ H

Факторгрупи

Факторгрупа (або частка) групи G по її нормальній підгрупі N — це множина G/N, елементами якої є правосторонні класи сумісності вигляду aN = {an | n ∈ N}. Множення в факторгрупі визначається як

(aN) ∙ (bN) = (ab)N

Додатки в математиці

Групи використовуються для опису різних типів симетрії. Наприклад:

• Симетрії площин: Група симетрій квадрата — це група порядку 8, яка містить повороти і дзеркальні відображення.
• Симетрії тривимірного простору: Група симетрій куба — це група порядку 48, яка містить повороти, дзеркальні відображення і обертання на 120 градусів навколо діагоналей.

Група — фундаментальне поняття математики, що дозволяє систематично вивчати симетрію і інші алгебраїчні структури. Групи мають численні застосування в алгебрі, геометрії, топології та інших галузях.

Типові питання

1. Що таке група в математиці?
2. Які аксіоми повинні виконувати елементи групи?
3. Що таке порядок групи і як він визначається?
4. Що таке підгрупа і факторгрупа?
5. Наведіть приклади використання груп для опису симетрій.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 26 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.