Двоїстий граф

Двоїстий граф G' до планарного графу G — це граф, в якому:

• Вершини відповідають граням графу G.
• Вершини з'єднані ребром, якщо відповідні їм грані графу G мають спільне ребро.

Властивості двоїстих графів

• Двоїстість симетрична: Двоїстий граф до двоїстого графа — це вихідний граф. G′ = G.
• Зв'язність: Двоїстий граф зв'язний, якщо й тільки якщо вихідний граф зв'язний.
• Двоїстість плоских графів: Двоїстий граф планарного графу також є планарним графом.
• Кількість вершин і ребер: Кількість вершин у двоїстому графі дорівнює кількості ребер у вихідному графі, а кількість ребер у двоїстому графі дорівнює кількості граней у вихідному графі.
• Збереження топологічних властивостей: Двоїстий граф зберігає деякі топологічні властивості вихідного графу, наприклад зв'язність, планарність і род.

Приклади двоїстих графів

• Куб та октаедр: Куб і октаедр є двоїстими графами один до одного.
• Додекаедр та ікосаедр: Додекаедр і ікосаедр також є двоїстими графами один до одного.
• Тетраедр: Двоїстий граф тетраедра — сам тетраедр.

Застосування двоїстих графів

Двоїсті графи мають застосування в різних галузях, зокрема:

• Геометрія: Для вивчення політопів та їх властивостей.
• Топологія: Для класифікації поверхонь і побудови карт.
• Комбінаторика: Для розв'язання задач, пов'язаних із підрахунком і переліком об'єктів.
• Графічна теорія: Для вивчення властивостей плоских графів і побудови нових графів.

Двоїсті графи — це корисне поняття в математиці та інформатиці, яке надає цінний інструмент для аналізу та побудови планарних графів. Симетричні та планарні властивості двоїстих графів роблять їх особливо корисними в топології, геометрії та комбінаториці.

Часто задавані питання

1. Чи кожен граф має двоїстий граф? Ні, тільки планарні графи мають двоїсті графи.
2. Яка кількість вершин у двоїстому графі до графу з n ребрами? n.
3. Яка кількість ребер у двоїстому графі до графу з m гранями? m.
4. Чи є двоїстий граф до графу з петлями? Ні, двоїсті графи мають одиничну або нульову кратність ребер.
5. Як побудувати двоїстий граф до планарного графу? Вибравши грані в якості вершин і з'єднавши вершини ребрами, які відповідають спільним ребрам у вихідному графі.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 15 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.