Дивергенція (математика)

Визначення

Дивергенція – це скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує, продукується чи поглинається векторне поле в даній точці, і визначає інтенсивність цих процесів.

Обчислення дивергенції

Дивергенція векторного поля F(x, y, z) обчислюється за формулою:

div F = (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y) + (∂Fz/∂z)

де ∂Fx/∂x, ∂Fy/∂y, ∂Fz/∂z – часткові похідні компонентів вектора F.

Інтерпретація дивергенції

Знак дивергенції має фізичний зміст:

• Положительна дивергенція: В даній точці векторне поле продукується (джерела).
• Нульова дивергенція: В даній точці векторне поле не продукується і не поглинається (поле соленоїдне).
• Від'ємна дивергенція: В даній точці векторне поле поглинається (стоки).

Приклади

• Поле швидкостей нестискуваної рідини: Положительна дивергенція характеризує інтенсивність джерел рідини, а від'ємна – інтенсивність стоків.
• Електростатичне поле: Дивергенція електричного поля дорівнює густині електричного заряду в даній точці.
• Гравітаційне поле: Дивергенція гравітаційного поля дорівнює нулю в областях, де немає маси.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса пов'язує потік векторного поля F через замкнуту поверхню S з дивергенцією F всередині S:

∫∫S F · n dS = ∭V div F dV

де n – нормаль до поверхні S, а dS і dV – елементи площі і об'єму відповідно.

Дивергенція є важливим математичним інструментом для аналізу та опису векторних полів. Вона надає інформацію про джерела і стоки, а також про загальну поведінку поля в даній точці чи області.

Часті запитання

1. Що таке дивергенція векторного поля?
2. Як обчислити дивергенцію?
3. Який фізичний зміст має знак дивергенції?
4. Які приклади використання дивергенції в фізиці?
5. Як пов'язана дивергенція з інтегралом Гаусса?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 07 12 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.