Теорема Вієта

Формулювання

Теорема Вієта стверджує, що для будь-якого многочлена виду

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

де a_n ≠ 0, якщо a₁, a₂, …, a_n є коренями многочлена, то:

• Сума коренів дорівнює протилежному числу коефіцієнта при x^n-1:

a₁ + a₂ + … + a_n = -a_n-1/a_n

• Добуток коренів дорівнює (-1)ⁿ помноженому на коефіцієнт при константі:

a₁ * a₂ * … * a_n = (-1)ⁿ*a₀/a_n

Доведення

Доведення першої формули можна отримати, підставивши значення коренів у многочлен:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀
P(a_i) = a_na_iⁿ + a_n-1a_i^n-1 + … + a₁a_i + a₀ = 0

Сумуючи ці рівняння для всіх i, отримуємо:

ΣP(a_i) = Σ(a_na_iⁿ + a_n-1a_i^n-1 + … + a₁a_i + a₀) = 0
Σa_na_iⁿ + Σa_n-1a_i^n-1 + … + Σa₁a_i + na₀ = 0
a_n-1(a₁ + a₂ + … + a_n) = -na₀

Звідси випливає перша формула.

Доведення другої формули аналогічне до першої.

Використання

Теорема Вієта широко застосовується в алгебрі для:

• Вирішення рівнянь.
• Перевірки коренів багаточленів.
• Перетворення виразів з коренями.
• Розкладання многочленів.
• Знаходження суми і добутку коренів.

Приклади

Приклад 1:

Знайти корені багаточлена P(x) = x³ – 2x² + 5x – 6.

Використовуючи Теорему Вієта:

• Сума коренів (a₁ + a₂ + a₃) = – коефіцієнт при x² = 2.
• Добуток коренів (a₁*a₂*a₃) = коефіцієнт при константі = -6.

Отже, нам потрібні числа, добуток яких дорівнює -6, а сума дорівнює 2. Це числа 1, 2 та -3. Тому корені багаточлена P(x) є: a₁ = 1, a₂ = 2 та a₃ = -3.

Приклад 2:

Перетворити вираз (x – a₁)(x – a₂) … (x – a_n) у вигляді одночлена.

Використовуючи Теорему Вієта:

(x – a₁)(x – a₂) … (x – a_n) = xⁿ + b_n-1x^n-1 + … + b₁x + b₀

Коефіцієнти b_n-1, b_n-2, …, b₁, b₀ можна знайти за теоремою Вієта:

• b_n-1 = – (a₁ + a₂ + … + a_n)
• b_n-2 = a₁a₂ + a₁a₃ + … + a_n-1a_n
• …
• b₁ = -a₁a₂…a_n-2a_n
• b₀ = (-1)ⁿa₁a₂…a_n

Теорема Вієта є важливим інструментом у алгебрі, який дозволяє знаходити суму, добуток, перевіряти корені та перетворювати вирази, що містять корені багаточленів. Вона має широкий спектр застосування в математиці та інших дисциплінах.

Часто задаються питання

1. Що таке Теорема Вієта?
2. Яке формулювання Теореми Вієта?
3. Як використовувати Теорему Вієта для знаходження коренів многочлена?
4. Як перетворити вираз з коренями у вигляді одночлена за допомогою Теореми Вієта?
5. Які застосування Теореми Вієта в алгебрі?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 15 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.