Слід матриці
Слід матриці – це спеціальна операція, що використовується в лінійній алгебрі для визначення суми елементів головної діагоналі квадратної матриці. Позначається символ «tr» (англійською – trace).
Означення слід матриці
Нехай (A = [a_{ij}]_{n\times n}) – квадратна матриця розміру (n \times n). Слід матриці (A) визначається як:
tr(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}
Іншими словами, слід матриці є сумою діагональних елементів матриці.
Властивості сліду матриці
Слід матриці володіє наступними властивостями:
- Лінійність: (tr(aA + bB) = a \cdot tr(A) + b \cdot tr(B)), де (A) і (B) – квадратні матриці того самого розміру, а (a) і (b) – будь-які числа.
- Незмінність при транспонуванні: (tr(A) = tr(A^T)), де (A^T) – транспонована матриця (A).
- Циклічність: (tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)), де (A), (B) і (C) – квадратні матриці.
- Нульовий слід матриці, що не квадратна: Якщо (A) не є квадратною матрицею, то (tr(A) = 0).
Застосування сліду матриці
Слід матриці має численні застосування в різних областях математики та її застосувань:
- Знаходження характеристичного многочлена: Слід матриці є коефіцієнтом при (x^n) в характеристичному многочлені.
- Побудова інваріантів: Слід матриці є інваріантом при лінійних перетвореннях.
- Визначення спектра матриці: Слід матриці дорівнює сумі власних значень матриці.
- Розв'язання систем лінійних рівнянь: Слід матриці коефіцієнтів системи лінійних рівнянь може допомогти знайти умови існування та єдиності розв'язку.
Слід матриці – це важлива операція в лінійній алгебрі, яка використовується для вилучення корисної інформації з квадратних матриць. Вона володіє численними властивостями та має широке застосування в математиці та її застосувань.
Часто задаються питання
- Що означає слід матриці? Слід матриці – це сума елементів головної діагоналі квадратної матриці.
- Як розрахувати слід матриці? Слід матриці обчислюється як сума діагональних елементів матриці.
- Чи є слід матриці інваріантом при транспонуванні? Так, слід матриці не змінюється при транспонуванні.
- Які застосування сліду матриці? Слід матриці використовується в характеристичному многочлені, інваріантах, спектрі матриці та в розв'язанні систем лінійних рівнянь.
- Як слід матриці допомагає знайти характеристичний многочлен? Слід матриці є коефіцієнтом при старшому степені (x) в характеристичному многочлені.
Опубліковано