Розширення поля

# вікіпедія, Популярність: середня

Розширення поля — поле L для якого поле K є підполем.

Абсолютно очевидно, що в курсі математики, а саме абстрактній алгебрі, поступово вивчається теорія полів. Часто трапляються ситуації, в яких розширюється дільників кільця. Сам факт розширення полів є дуже важливим у вивченні цього розділу математики. У статті буде детальніше розглянуто поняття розширення поля, наведені приклади та теореми.

Означення розширення поля

Полем називається безліч елементів, для яких визначені операції додавання та множення. При цьому також визначені одиниця та обернений елемент. Якщо для деякого поля L обрано поле K підполем, тоді можна стверджувати, що L являється розширеннями поля K.

Характеристики та види розширення полів

• Алгебраїчне розширення. У цьому випадку елемент називається алгебраїчним, якщо він задовольняє многочлен з коефіцієнтами поля K. Варто зауважити, що алгебраїчним є будь-який елемент кінцевого розширення.
• Просте розширення. Розширення поля називається простим у випадках, коли воно породжене одним елементом.
• Скінченне розширення. у цьому випадку розширення називається скінченним, якщо L є скінченною множиною як K-векторний простір.

Приклади розширення поля

Зрозуміти поняття розширення поля можна найкраще на прикладах. Розглянемо деякі з них:

• Розширення поля раціональних чисел. Q є підполем поля дійсних чисел R. В даному випадку R є розширенням поля Q.
• Розширення поля комплексних чисел. С є розширенням поля дійсних чисел R.

Теореми про розширення поля

Розглянемо деякі теореми, які часто використовуються в абстрактній алгебрі:

• Теорема про існування алгебраїчного розширення. Для будь-якого поля K існує алгебраїчне розширення поля K.
• Теорема про існування нормального розширення. Для будь-якого поля K існує нормальне розширення поля K.
• Теорема про існування сепарабельного розширення. Для будь-якого поля K існує сепарабельне розширення поля K.

Висновок

Поняття розширення поля є надзвичайно важливим у теорії полів. Розширення полів використовуються для вивчення алгебричних чисел, алгебраїчної геометрії та інших розділів математики.

Запитання, які часто задаються

1. Які є види розширення поля?
2. Чим відрізняється алгебраїчне розширення від простого розширення?
3. Чим відрізняється скінченне розширення від нескінченного розширення?
4. Які теореми відомі про розширення поля?
5. Як розширення поля використовуються в математиці?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 25 01 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.