Полярний розклад матриці
Полярний розклад матриці – це унікальне представлення квадратної матриці з комплексними елементами як добутку двох спеціальних матриць: унітарної та невід'ємно визначеної ермітової матриці.
Загальний вигляд
Для квадратної матриці A порядку n з комплексними елементами її полярний розклад має вигляд:
$$\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{H},$$
де:
- U – унітарна матриця, тобто матриця, для якої $\mathbf{U}^\ast \mathbf{U} = \mathbf{I}$.
- H – невід'ємно визначена ермітова матриця, тобто матриця, для якої $\mathbf{H} = \mathbf{H}^\ast$ і всі власні значення невід'ємні.
Ермітова частина
Ермітова частина полярного розкладу, позначена як $\mathbf{H}$, має наступні властивості:
- Власні значення: Власні значення $\mathbf{H}$ є дійсними та невід'ємними.
- Властивість проекції: $\mathbf{H}$ визначає метрику гіперплощини, що задає діапазон $\mathbf{A}$.
Унітарна частина
Унітарна частина полярного розкладу, позначена як $\mathbf{U}$, має наступні властивості:
- Ортогональність: Стовпці $\mathbf{U}$ є ортогональними.
- Орієнтація: $\mathbf{U}$ визначає орієнтацію гіперплощини, що задає діапазон $\mathbf{A}$.
Алгебраїчні властивості
Полярний розклад має наступні алгебраїчні властивості:
- Унікальність: Полярний розклад матриці є унікальним, за винятком заміни $\mathbf{U}$ на $-\mathbf{U}$.
- Відтворення: $\mathbf{H} = \sqrt{\mathbf{A}^\ast \mathbf{A}}$.
- Мультиплікативність: Полярний розклад добутків матриць дорівнює добутку їхніх полярних розкладів.
Застосування
Полярний розклад матриці має широке застосування в різних областях, зокрема:
- Лінійна алгебра: Знаходження обернених матриць, обчислення детермінантів.
- Квантова механіка: Розрахунок амплітуд ймовірності квантових переходів.
- Комп'ютерна графіка: Трансформації та освітлення тривимірних сцен.
Полярний розклад матриці є потужним інструментом для аналізу та розуміння лінійних перетворень. Він надає корисне уявлення про структуру матриці, виділяючи її ермітову та унітарну частини, і має важливі застосування в різних областях науки та техніки.
Часто задавані запитання
- Чому полярний розклад називається "полярним"?
Оскільки унітарна частина розкладу визначає орієнтацію в гіперпросторі, як полярний вектор у полярній системі координат. - Чи всі матриці мають полярний розклад?
Так, усі квадратні матриці з комплексними елементами мають полярний розклад. - Як обчислити полярний розклад матриці?
За допомогою методу сингулярного значення (SVD) або еігенрозкладу. - Чи можна уніфікувати унітарну частину полярного розкладу?
Ні, унітарну частину можна уніфікувати лише з точністю до заміни на $-\mathbf{U}$. - Які інші розклади матриці схожі на полярний розклад?
Розклади Шур, Лю та сингулярного значення.
Опубліковано