Нормований многочлен
Редактор: Михайло МельникВизначення
У алгебрі нормований многочлен – це многочлен однієї змінної, у якому старший коефіцієнт (ненульовий коефіцієнт найвищого порядку) дорівнює 1. Тобто, нормований многочлен має форму:
P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0
де n – ціле число, відоме як ступінь многочлена, а a – довільні дійсні коефіцієнти.
Властивості нормованих многочленів
Нормовані многочлени мають кілька корисних властивостей:
- Унікальність: Кожен многочлен може бути представлений єдиним нормованим многочленом тієї ж степені.
- Точки перетину осі x: Корені нормованого многочлена n-го степеня є n дійсних або комплексних чисел.
- Теорема про залишок: Коли нормований многочлен ділиться на біномінал (x – c), залишок дорівнює значенню многочлена в точці c.
- Багаточлен залишку: Коли нормований многочлен ділиться на інший многочлен g(x), існує унікальний многочлен найвищого степеня r(x), що задовольняє рівняння:
P(x) = g(x)q(x) + r(x)
де r(x) має ступінь менший, ніж у g(x).
Застосування нормованих многочленів
Нормовані многочлени застосовуються в багатьох галузях математики та природничих наук, зокрема:
- Алгебра: Доведення теорем та розв'язання рівнянь.
- Аналіз: Вивчення функцій та їх поведінки.
- Прикладна математика: Моделювання та розв'язання задач в різних сферах, таких як фізика, інженерія та економіка.
Приклади нормованих многочленів
- Лінійний: P(x) = x + 1
- Квадратичний: P(x) = x^2 – 2x + 1
- Кубічний: P(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 1
- Квінтічний: P(x) = x^5 – 5x^3 + 10x^2 – 1
Нормовані многочлени є важливим класом многочленів, що мають корисні властивості та застосовуються в широкому спектрі математичних та практичних застосунків.
Часті запитання
- Чи всі многочлени нормовані?
Ні, лише ті многочлени, у яких старший коефіцієнт дорівнює 1. - Як перетворити многочлен у нормований?
Поділити многочлен на його старший коефіцієнт. - Який ступінь нормованого многочлена з n коренями?
n - Чи можуть нормовані многочлени мати комплексні коефіцієнти?
Так - Чи можуть нормовані многочлени мати кратні корені?
Так
У вас є запитання чи ви хочете поділитися своєю думкою? Тоді запрошуємо написати їх в коментарях!
⚡⚡⚡ Топ-новини дня ⚡⚡⚡
Хто такий Такер Карлсон? Новий законопроект про мобілізацію З травня пенсію підвищать на 1000 гривень