Многочлен

Многочлен: математичне поняття виразу однієї змінної

Визначення

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

де:

• a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ – коефіцієнти многочлена, які є дійсними або комплексними числами;
• n – ціле невід'ємне число, яке називається степенем многочлена.

Ступені многочленів

Залежно від степеня n багаточлени класифікуються на:

• Нульовий многочлен: n = 0. Це просто число a₀.
• Лінійний многочлен: n = 1. Це вираз виду ax + b, де a і b – числа.
• Квадратичний многочлен: n = 2. Це вираз виду ax² + bx + c, де a, b і c – числа.
• Кубічний многочлен: n = 3. Це вираз виду ax³ + bx² + cx + d, де a, b, c і d – числа.
• Многочлен n-го степеня: Це вираз виду a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀, де a_n не дорівнює 0.

Приклади многочленів

Наступні вирази є многочленами:

• 3x² + 2x – 1 (квадратичний многочлен)
• x³ – 4x² + 5x + 6 (кубічний многочлен)
• 5 (нульовий многочлен)
• 0 (нульовий многочлен)

Операції над многочленами

Над многочленами можна виконувати такі операції:

• Додавання і віднімання: Два многочлени можна додавати або віднімати, додаючи або віднімаючи відповідні коефіцієнти.
• Множення: Множення двох многочленів дає новий многочлен, коефіцієнти якого є сумами добутків коефіцієнтів вихідних многочленів.
• Ділення із залишком: Багаточлен може бути поділений на інший многочлен з залишком або без нього.

Особливості многочленів

• Багаточлени мають важливе значення в багатьох галузях математики, включаючи алгебру, аналіз і комбінаторику.
• Багаточлени можуть бути використані для моделювання різних явищ, таких як рух, ріст і розпад.
• Операції над многочленами можна розглядати як перетворення між многочленами.
• Багаточлени є основами для різних алгебраїчних структур, таких як кільце многочленів і поле раціональних функцій.
• Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що будь-який многочлен з комплексними коефіцієнтами має принаймні один корінь у комплексному полі.

Спеціальні види многочленів

• Первісний многочлен: Многочлен, який не має дільників, крім 1 і самого себе.
• Незвідний многочлен: Многочлен, який не може бути представлений як добуток двох многочленів з меншими степенями.
• Монотонний многочлен: Многочлен, значення якого монотонно зростає або зменшується на всьому своєму діапазоні.
• Позитивний многочлен: Многочлен, усі коефіцієнти якого є додатними.
• Матрічний многочлен: Многочлен, коефіцієнти якого є матрицями.

Многочлени є важливими математичними об'єктами, що використовуються в різних галузях. Їх можна класифікувати за степенем, а також виконувати над ними різні операції. Розуміння багаточленів має важливе значення для багатьох математичних застосувань і концепцій.

Поширені запитання

1. Що таке основне визначення многочлена?
2. Чим відрізняються лінійні, квадратичні і кубічні багаточлени?
3. Як можна додати два многочлени?
4. Як знайти корені многочлена?
5. Де використовуються багаточлени в математиці?

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 27 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.