Множина Віталі
Множина Віталі: невимірна множина без міри Лебега
Історія та визначення
Множина Віталі, названа на честь італійського математика Джузепе Віталі, відома як історично перший приклад множини, яка не має міри Лебега. Поняття міри Лебега – це спосіб виміряти розмір множин точок у евклідовому просторі. Множина, яка не має міри Лебега, відома як невимірна множина.
Віталі побудував свою множину 1905 року як приклад множини точок на одиничному інтервалі [0, 1], яка не має міри Лебега. Побудова ґрунтується на аксіомі вибору, яка є спірним математичним принципом.
Початкова конструкція
Щоб побудувати множину Віталі, розглянемо послідовність вкладених інтервалів:
I_1 = [0, 1]
I_2 = [0, 1/2] ∪ [1/2, 1]
I_3 = [0, 1/4] ∪ [1/4, 1/2] ∪ [3/4, 1]
…
Кожен наступний інтервал I_n ділиться на 2n рівних підінтервалів, а потім із кожної пари підінтервалів вилучається один.
Формальне визначення
Множина Віталі є множиною W, що складається з усіх чисел x в інтервалі [0, 1], які представляються у вигляді:
x = 0.a_1a_2a_3…
де ai = 0, якщо відповідний підінтервал інтервалу I_i був вилучений, і ai = 1, якщо він був збережений.
Властивості
- Множина Віталі не має міри Лебега, оскільки вона не рахункова і не має точок внутрішньої міри.
- Вона має потужність континууму, що є потужністю множини дійсних чисел.
- Вона є нескінченною, але зліченною множиною.
Значення та застосування
Множина Віталі є важливим прикладом невимірних множин і має численні застосування в теорії міри, аналізі та інших галузях математики. Вона використовувалася для вивчення інших типів невимірних множин, таких як множина Сміта-Волтера і множина Кантора.
Множина Віталі є видатним прикладом множини, яка не має міри Лебега. Це історично важливий результат у теорії міри, який висвітлює складність вимірювання розміру множин. Вивчення множини Віталі та інших невимірних множин продовжує давати цінну інформацію в області математичних досліджень.
Часті запитання
- Хто побудував множину Віталі?
- Джузепе Віталі
- Чи має множина Віталі міру Лебега?
- Ні
- Яку потужність має множина Віталі?
- Потужність континууму
- Чи є множина Віталі скінченною чи нескінченною?
- Нескінченна
- Як використовується множина Віталі в математиці?
- Для вивчення невимірних множин та теорії міри
Опубліковано