Локально зв’язаний простір

# вікіпедія, Популярність: помірна

Локально зв’язані топологічні простори: зрозумілим способом

Зміст

• Короткий огляд поняття локально зв’язаних топологічних просторів
• Формальне визначення:
• Еквівалентні визначення:
• Приклади:
• Властивості

Короткий огляд поняття локально зв’язаних топологічних просторів

У топології, локально зв’язаний топологічний простір – це простір, в якому кожна точка має відкритий окіл, який є зв’язаним. Це поняття тісно пов’язане з поняттям зв’язності, але є більш локальним за своєю природою.

Формальне визначення:

Формально, топологічний простір

X

{\displaystyle X}

називається локально зв’язаним у точці

x

{\displaystyle x}

, якщо для будь-якого околу

V

{\displaystyle V}

точки

x

{\displaystyle x}

існує менший відкритий зв’язаний окіл

U

{\displaystyle U}

, такий, що

x
∈
U
⊂
V

{\displaystyle x\in U\subset V}

.

Простір називається локально зв’язаним, якщо він є локально зв’язаним у всіх своїх точках.

Еквівалентні визначення:

Існує кілька еквівалентних визначень для локально зв’язаних топологічних просторів, що робить це поняття зручним для вивчення та використання.

Визначення 1: Простір є локально зв’язаним, якщо для кожної точки в просторі існує базис зв’язаних відкритих множин.

Визначення 2: Простір є локально зв’язаним, якщо для будь-якої відкритої множини в просторі з непорожньою границею, границя є зв’язаною.

Приклади:

Щоб краще зрозуміти поняття локально зв’язаних топологічних просторів, розгляньмо кілька прикладів:

1. Евклідів простір: Евклідів простір будь-якої розмірності є локально зв’язаним, оскільки кожна точка має відкритий окіл, який є зв’язаним.

2. Відкритий інтервал: Відкритий інтервал є локально зв’язаним, оскільки кожна точка в інтервалі має відкритий окіл, який є зв’язаним.

3. Закритий інтервал: Закритий інтервал є локально зв’язаним, але не зв’язаним, оскільки він містить дві окремі зв’язані компоненти.

Властивості:

Локально зв’язані топологічні простори мають ряд важливих властивостей, які відрізняють їх від інших топологічних просторів.

1. Розклад на зв’язані компоненти: Локально зв’язаний простір можна розкласти на union зв’язаних компонент, які є максимальними зв’язаними підмножинами.

2. Зв’язані відкриті підмножини: У локально зв’язаному просторі будь-яка відкрита підмножина, яка є зв’язаною як підпростір, є зв’язаною як підмножина простору.

3. Компактні підмножини: У локально зв’язаному просторі будь-яка компактна підмножина є локально компактною.

5 часто задаваних запитань:

1. Що таке локально зв’язаний топологічний простір?

Локально зв’язаний топологічний простір – це простір, в якому кожна точка має відкритий окіл, який є зв’язаним.

2. Які еквівалентні визначення для локально зв’язаних топологічних просторів?

Існує кілька еквівалентних визначень локально зв’язаних топологічних просторів, які включають існування базису зв’язаних відкритих множин та зв’язність границь відкритих множин.

3. Наведіть приклади локально зв’язаних та нелокально зв’язаних топологічних просторів.

Прикладами локально зв’язаних топологічних просторів є евклідів простір та відкритий інтервал. Прикладом нелокально зв’язаного топологічного простору є замкнутий інтервал.

4. Якими властивостями володіють локально зв’язані топологічні простори?

Локально зв’язані топологічні простори мають низку важливих властивостей, таких як розклад на зв’язані компоненти, зв’язаність відкритих підмножин та локальна компактність компактних підмножин.

5. Де використовуються локально зв’язані топологічні простори?

Локально зв’язані топологічні простори використовуються в різних галузях математики, включаючи алгебраїчну топологію, геометрію та диференціальну топологію.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 01 01 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.