Лема Гейне — Бореля
Лема Гейне — Бореля – Теорема Гейне-Бореля
Теорема Гейне-Бореля стверджує, що для стандартної топології метричних просторів кожен замкнений і обмежений відрізок [a, b] ⊂ ℝ є компактним, тобто таким, що з будь-якого (скінченного чи нескінченного) покриття цього відрізка відкритими інтервалами можна вибрати скінченне підпокриття.
Доведення
Нехай [a, b] ⊂ ℝ — замкнений і обмежений відрізок, і нехай (U_i)_{i ∈ I} — покриття [a, b] відкритими інтервалами. Позначимо ε = min{1, b - a}/2. Для кожного x ∈ [a, b] існує i ∈ I такий, що x ∈ U_i. Оскільки діаметр U_i менший за ε, існує r ∈ (0, ε/2) такий, що [x - r, x + r] ⊂ U_i. Таким чином, [a, b] ⊂ ∪_{x ∈ [a, b]}[x - r, x + r].
Як відомо, діаметр будь-якого інтервалу форми [x - r, x + r] менший за ε. Оскільки [a, b] обмежений, інтервал [a, b] містить лише скінченне число різних інтервалів форми [x - r, x + r]. Тому можна вибрати скінченне підмножина J ⊂ I таке, що [a, b] ⊂ ∪_{j ∈ J}[x_j - r, x_j + r].
Таким чином, (U_j)_{j ∈ J} є скінченним підпокриттям відрізка [a, b], що завершує доведення.
Окремі випадки
- Лема Гейне-Бореля: Якщо
[a, b] ⊂ ℝ— замкнений і обмежений відрізок, то кожен його скінченний підвідрізок[c, d] ⊂ [a, b]також є компактним. - Теорема Вейєрштраса: Кожна обмежена послідовність дійсних чисел має збіжну підпослідовність.
Узагальнення
Теорема Гейне-Бореля можна узагальнити на довільні метричні простори. Але зауважимо, що компактність у загальному випадку метричних просторів не еквівалентна замкнутості та обмеженості.
Додаткові властивості компактних відрізків
- Компактний відрізок є повним метричним простором.
- Компактний відрізок є обмеженим.
- Компактний відрізок є зв'язним.
Теорема Гейне-Бореля є фундаментальним результатом у теорії метричних просторів, який забезпечує основу для багатьох інших теорем, що включають компактність.
Часто задавані питання
- Що таке компактний відрізок?
- Як довести теорему Гейне-Бореля?
- Які окремі випадки теореми Гейне-Бореля?
- Чи можна узагальнити теорему Гейне-Бореля на довільні метричні простори?
- Які властивості компактних відрізків?
Опубліковано