Інтеграл Стілтьєса

Визначення

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана — Стілтьєса) — це узагальнення визначеного інтеграла, яке дозволяє інтегрувати функції щодо мір, а не тільки щодо сталих функцій (функцій, що приймають одне й те саме значення на всьому інтервалі).

Історична довідка

Інтеграл Стілтьєса вперше був введений у 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом. Він є узагальненням інтеграла Рімана, який був введений в 1823 році і дозволяв інтегрувати функції щодо сталих функцій.

Обчислення інтеграла Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса функції f(x) щодо міри α(x) на інтервалі [a, b] визначається як межа суми Рімана:

∫[a, b] f(x) dα(x) = lim(n→∞) ∑ f(xi) [α(xi) – α(xi-1)]

де xi – точки розбиття інтервалу [a, b], а α(xi) – значення міри α(x) в точці xi.

Властивості інтеграла Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса має ряд важливих властивостей:

• Лінійність: Інтеграл є лінійним оператором, тобто для будь-яких двох функцій f(x) і g(x) і будь-яких констант a і b справедливо:

∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dα(x) = a∫[a, b] f(x) dα(x) + b∫[a, b] g(x) dα(x)

• Монотонність: Якщо функція f(x) монотонно неспадна, то інтеграл Стілтьєса також монотонно неспадний. Аналогічно, якщо f(x) монотонно незростаюча, то інтеграл Стілтьєса також монотонно незростаючий.

• Теорема про інтеграл за частинами: Для будь-яких двох функцій f(x) і g(x) справедливо:

  Є питання? Запитай в чаті зі штучним інтелектом!

  ВІДКРИТИ ЧАТ

∫[a, b] f(x) dg(x) = f(b)g(b) – f(a)g(a) – ∫[a, b] g(x) df(x)

Застосування інтеграла Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса має широке застосування у різних галузях математики, включаючи:

• Теорія ймовірностей
• Теорія міри
• Математичний аналіз
• Теорія функцій комплексних змінних

Інтеграл Стілтьєса є потужним узагальненням визначеного інтеграла, яке дозволяє інтегрувати функції щодо мір. Він має широкий спектр застосувань у різних галузях математики і є важливим інструментом для вивчення проблем, пов'язаних з інтеграцією.

Питання, що часто задаються

• Що таке інтеграл Стілтьєса?
  Інтеграл Стілтьєса – це узагальнення інтеграла Рімана, який дозволяє інтегрувати функції щодо мір.

• Хто ввів інтеграл Стілтьєса?
  Інтеграл Стілтьєса був введений Томасом Стілтьєсом у 1894 році.

• Які властивості має інтеграл Стілтьєса?
  Інтеграл Стілтьєса має властивості лінійності, монотонності та інтегрування за частинами.

• Де використовується інтеграл Стілтьєса?
  Інтеграл Стілтьєса використовується у різних галузях математики, включаючи теорію ймовірностей, теорію міри, математичний аналіз та теорію функцій комплексних змінних.

• Як обчислюється інтеграл Стілтьєса?
  Інтеграл Стілтьєса обчислюється як межа суми Рімана, подібно до інтеграла Рімана.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 30 05 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.