Головна діагональ
Визначення
Головна діагональ квадратної матриці – це діагональ, яка проходить через лівий верхній кут матриці та простягається у напрямку правого нижнього кута.
Позначення
Головну діагональ квадратної матриці зазвичай позначають символом d. Елементи головної діагоналі матриці зазвичай позначаються як aii, де i – індекс рядка, а j – індекс стовпця.
Приклади
У наведених нижче матрицях елементи головної діагоналі рівні одиниці:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $$
Властивості
Головна діагональ квадратної матриці має ряд важливих властивостей:
* Довжина головної діагоналі дорівнює порядку матриці.
* Сума елементів головної діагоналі дорівнює скалярному сліду матриці.
* Визначник квадратної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
* Якщо всі елементи головної діагоналі матриці рівні, то матриця є діагональною.
* Якщо головна діагональ матриці містить лише нулі, то матриця є нульовою.
Застосування
Головна діагональ квадратної матриці має численні застосування в лінійній алгебрі, аналізі та прикладній математиці, зокрема:
* обчислення визначника та сліду матриці
* розв’язання систем лінійних рівнянь
* обчислення власних значень та власних векторів матриці
* факторизація матриці (наприклад, LU-розклад)
Головна діагональ є важливою характеристикою квадратної матриці. Вона має ряд важливих властивостей та застосувань у різноманітних математичних задачах.
Часто задавані питання
1. Що таке головна діагональ квадратної матриці?
2. Як позначається головна діагональ матриці?
3. Які властивості має головна діагональ?
4. Які застосування має головна діагональ матриці?
5. Чи є головна діагональ у неквадратної матриці? (Ні)
Опубліковано