Гамма-функція

# вікіпедія, Популярність: 25

Гамма-функція: Розширення Факторіальної Функції до Реальних та Комплексних Чисел

Огляд Гамма-Функції

є розширенням факторіальної функції до дійсних та комплексних чисел, яка позначається великою літерою грецького алфавіту Гамма (Γ). Її визначив Даніель Бернуллі в 1729 році, і відтоді вона стала незамінним інструментом у багатьох галузях математики, фізики та інженерії.

Визначення Гамма-функції

Гамма-функцію можна визначити за допомогою наступного інтеграла:

Γ(z) = ∫₀^∞ t^z-1e^-t dt

Де z — дійсне або комплексне число, за умови, що дійсна частина z більша за нуль (Re(z) > 0).

Властивості Гамма-функції

• Зв’язок з факторіальною функцією: Гамма-функція і факторіальна функція пов’язані наступним співвідношенням:

Γ(z+1) = z!

Де z! — факторіал цілого числа z.

• Завдання Ейлера: Дане важливе інтегральне представлення Гамма-функції:

Γ(z) = ∫₀¹ u^z-1ln(u) du

• Функціональне рівняння: Гамма-функція задовольняє функціональне рівняння:

Γ(z+1) = zΓ(z)

Застосування Гамма-функції

Гамма-функція широко застосовується в різних галузях, включаючи:

• Ймовірність і статистика: Гамма-функція є основою для різних розподілів, включаючи гамма-розподіл і розподіл хі-квадрат.


• Фізика: Гамма-функція використовується в статистичній механіці, теорії електромагнетизму і квантовій механіці.


• Інженерія: Гамма-функція знаходить застосування в обробці сигналів, телекомунікаціях та інших галузях.

Висновок

Гамма-функція є важливим математичним інструментом, який знаходить застосування в різних галузях. Це розширення факторіальної функції до дійсних і комплексних чисел, і воно має ряд властивостей і застосувань в імовірності, статистиці, фізиці та інженерії.

Часто задаються питання:

1. Що таке Гамма-функція?

Гамма-функція являє собою розширення факторіальної функції до дійсних і комплексних чисел.

2. Як визначена Гамма-функція?

Гамма-функцію можна визначити за допомогою інтеграла: Γ(z) = ∫₀^∞ t^z-1e^-t dt.

3. Які властивості Гамма-функції?

Гамма-функція має ряд властивостей, включаючи зв’язок з факторіальною функцією, завдання Ейлера та функціональне рівняння.

4. Де використовується Гамма-функція?

Гамма-функція використовується в різних галузях, включаючи ймовірність і статистику, фізику та інженерію.

5. Які історичні відомості про Гамма-функцію?

Гамма-функцію вперше вивів Даніель Бернуллі в 1729 році для додатних цілих чисел, а пізніше вона була розширена до дійсних і комплексних чисел.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 02 01 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.