Паракомпактний простір
Паракомпактні простори
У топології – це топологічний простір, який задовольняє певним умовам компактності.
Визначення
Топологічний простір ((X, {\mathcal T})) називається паракомпактним, якщо для будь-якого відкритого покриття ({O_\alpha}) для (X) існує локально скінченне подрібнення ({V_\beta}), тобто:
- Кожен (V_\beta) є відкритим у (X).
- Для будь-якого (x \in X) існує лише скінченна кількість індексів (\beta) таких, що (x \in V_\beta).
- Для будь-якого (\alpha) існує (\beta), таке що (V_\beta \subseteq O_\alpha).
Властивості
- Компактні простори є паракомпактними.
- Паракомпактність є спадкоємною властивістю для відкритих підпросторів.
- Неперервне відображення з паракомпактного простору на хаусдорфів простір також є паракомпактним.
- Границя будь-якого паракомпактного простору є паракомпактним простором.
Приклади
- Будь-який скінченний топологічний простір є паракомпактним.
- Будь-який топологічний многовид є паракомпактним.
- Реальна лінія (\mathbb{R}) з звичайною топологією є паракомпактним простором.
Теорема про подрібнення
Одним з найважливіших результатів, що стосуються паракомпактних просторів, є Теорема про подрібнення, яка стверджує, що кожне відкрите покриття паракомпактного простору має локально скінченне подрібнення.
Паракомпактність – це топологічна властивість, яка є сильнішою за компактність. Паракомпактні простори мають важливі властивості, що робить їх корисними в багатьох областях математики, включаючи аналіз, геометрію та алгебраїчну топологію.
Запитання, що часто задаються
- Які простори є паракомпактними?
- Які властивості мають паракомпактні простори?
- Що таке локально скінченне подрібнення?
- Яке значення має Теорема про подрібнення для паракомпактних просторів?
- У яких областях математики використовуються паракомпактні простори?
Опубліковано