Теорема Стюарта

Загальна інформація

Теорема Стюарта – це метрична теорема в евклідовій планіметрії, яка встановлює зв'язок між довжиною Сторони трикутника і довжинами медіани, опущеної на цю сторону, і прилеглих відрізків на ній. Теорему довів англійський математик Джеймс Стюарт у 1746 році.

Теорема

У трикутнику ABC з медіаною AD, опущеною на сторону BC, виконуються наступні рівняння:

|AC – AB| = BD – CD
|AC + AB| = BC^2 – BD * CD

Доведення

Доведення першого рівняння

Розглянемо прямокутні трикутники ACD і ABD. Оскільки AD – медіана, то DC = DB. Тоді:

|AC – AB| = |AD + DC| – |AD – DB|
= |AD| + |DC| – |AD| + |DB|
= |BD| – |CD|

Доведення другого рівняння

Розглянемо трикутник ADC і BCD. За теоремою Піфагора:

AC^2 = AD^2 + DC^2
AB^2 = AD^2 + DB^2

Склавши ці рівняння, отримаємо:

AC^2 + AB^2 = 2AD^2 + DC^2 + DB^2

Оскільки BD + DC = BC, то:

AC^2 + AB^2 = 2AD^2 + BC^2

Перенесемо 2AD^2 в праву частину:

|AC + AB| = BC^2 – 2AD^2

За першим рівнянням:

|AC + AB| = BC^2 – BD * CD

Слідство

Із теореми Стюарта випливають наступні слідства:

• Якщо точка D лежить на стороні BC, то AD є медіаною.
• Якщо |AC – AB| = 0, то точка D є серединою сторони BC.
• Якщо |AC + AB| = BC^2, то точка D лежить на стороні BC за межами трикутника.

Застосування

Теорема Стюарта застосовується у вирішенні різноманітних геометричних задач, таких як:

• Знаходження довжини медіани трикутника
• Визначення відношення довжин сторін трикутника
• Доведення теорем про трикутники

Теорема Стюарта є важливою теоремою в евклідовій планіметрії, яка дозволяє знаходити зв'язок між довжинами сторін і медіани трикутника. Вона має численні застосування у вирішенні геометричних задач.

Часто задавані питання

• Що таке теорема Стюарта?
  Теорема Стюарта – це теорема, яка встановлює зв'язок між довжиною сторони трикутника і довжинами медіани, опущеної на цю сторону, і прилеглих відрізків на ній.
• Хто довів теорему Стюарта?
  Теорему довів англійський математик Джеймс Стюарт у 1746 році.
• Як вивести перше рівняння теореми Стюарта?
  Розглянувши прямокутні трикутники, утворені медіаною і сторонами трикутника.
• Як вивести друге рівняння теореми Стюарта?
  Застосувавши теорему Піфагора до прямокутних трикутників, утворених медіаною і сторонами трикутника.
• Які є наслідки теореми Стюарта?
  З теореми випливають такі наслідки: визначення медіани, положення точки на стороні трикутника, належність точки трикутнику.

Залишити коментар

Опубліковано Максим на 12 04 2024. Поданий під Вікі. Ви можете слідкувати за будь-якими відповідями через RSS 2.0. Ви можете подивитись до кінця і залишити відповідь.